柱体、锥体和台体的体积计算分解

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Sh
S为底面面积，h为高。
讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由 此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
解:设切割前的锥体的高为x,
则: ( x )2 S x S x h S h S S
x S h V 1 S(h x) 1 Sx
S S
3
3
V台体
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知识小结:
柱体、锥体、 台体的表面积
展开图
圆柱 S 2 r(r l)
r r
圆台 S (r2 r2 rl rl)
r 0
圆锥 S r(r l)
各面面积之和
知识小结:
柱体、锥体、 台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3 S' 0
锥体 V 1 Sh 3
作业：P28 习题1.3第3、4题； 课外 P30 B组第 3题.
3. 提问：我们已经学过了柱体、锥体、台 体的表面积的求法及其计算公式,现在的问 题是它们的体积如何求?是否也有相应的计 算公式? 探究新知： 回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方 体，以及圆柱的体积计算公式吗？
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可 以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
例题示范： 例1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六 边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为 10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）?
分析、讨论：六角螺帽 的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求螺 帽的个数？
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
1、探究柱体的体积公式
结论：等底、等高的 棱柱、圆柱的体积相 等. 归纳：一般柱体的体 积 V=Sh,其中S为底 面面积,h为柱体的高。
2、探究锥体的体积公式
结论1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。
结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积
的三分之一。
归纳：锥体的体积计算公式：V锥体
2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80ｃm2，
截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的
体积。
（答案：2325cm3）
3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面 的面积为4，求圆锥的体积.
4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm2, 体积为2800cm3，求它的侧面积。
复习引课： 1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积 计算公式是什么？
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl )
2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为4, 你能求出它的高和表面积 吗?
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体
积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3 ) 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个．
巩固练习： 1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求 这三部分自上而下的体积之比。
(S
SS S)h
其中S 、S分别为上、下底面积，h为高。
V圆台
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(S '
S'S S)h 1 (r2 rR R2 )h
3
想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式