数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序

数值分析第五次程序作业

PB09001057 孙琪

【问题】

分别编写用复化Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序； 用如上程序计算积分： I (f )=∫sin (x )dx 40

取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,12，并分析误差；

简单分析你得到的数据。

【复化Simpson 积分公式】

Simpson 法则：

∫f (x )dx ≈

b −a 6[f (a )+4f (a +b 2

)+f (b )]b a 使用偶数个子区间上的复合Simpson 法则：

设n 是偶数，x i =a +ih , h =

b−a n ,(0≤i ≤n) 则有

∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +⋯+∫

f (x )dx =∑∫f (x )dx x 2i x 2i−2

n 2i=1x n x n−2x 4x 2x 2x 0b a 将Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合Simpson 法则：

∫f (x )dx ≈h 3b a [f (x 0)+2∑f (x 2i−2)n 2i=2+4∑f (x 2i−1)n 2

i=1+f (x n )] 公式的误差项为：

−

1180

(b −a )h 4f (4)(δ) 其中δ∈(a,b)

【复化梯形积分公式】

梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：

∫f (x )dx ≈

b −a 2

b a [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：

a =x 0

那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：

∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x i x i−1n i=1b a ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]n

i=1 对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：

∫f (x )dx ≈h 2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1

i=1+f (b )]b a 误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)

【算法分析】

复合Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

【实验】

通过Mathematica编写程序得到如下结果：

1.利用复化Simpson积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

2.利用复化梯形积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

【分析】

通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。

【程序】Mathematica程序为：复合Simpson法则：

复合梯形法则：