3.3 向量组的线性相关性

可见，行向量组
1 ,2 ,3
4
与列向量组
1T ,
T 2
,
T 3
,
T 4
的线性相(无)关性是一样的。
13
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 设向量组 1, 2 , 3 , 4 线性无关，又已知
三 章
b1 1 2 , b2 2 3 , b3 3 4 , b4 1 4 ,
n
问向量组 b1, b2 , b3 , b4 是否线性无关？
17
§3.3 向量组的线性相关性
第 三、线性组合与线性相关的关系
三 章
1. 充要条件
2. 惟一性定理
n 维
定理
设 1,2 , ,m 线性无关， 1,2 , ,m , b 线性相关，
向 量
P80
定理 3.2
则 b 可由 1,2 , ,m 惟一地线性表示。
空
间 *证明 (留给读者自己完成)
18
§3.3 向量组的线性相关性
Irr 0
00 Q
空
间
(B
r列
B1
)
Irr 0
0 0
C C1
}
r
行
C ( B 0) C1 BC . (称此为满秩分解)
23
§3.3 向量组的线性相关性
第 *例 设 n 阶方阵 A 0 且满足 A2 A , 证明存在矩阵 B 和 C ,
三 章
使得 A BC 且 C B I .
n 证 (2) 由 A2 A , 有 BC BC BC , B (C BC C ) 0 .
维 向
k11 k12 k1n
量 空
(b1
b2
b
r
)
k21
k22
k2n
0
.
间
kr1 kr 2 krn
由于 b1, b2 , br 线性无关，故 C BC C 0 .
(3) 由于 (C B I )C 0 , 且 C 的行向量线性无关， 故同理可得 C B I 0 , 即 C B I . 24
故向量组 b1, b2 , b3 , b4 线性无关。
15
§3.3 向量组的线性相关性
第 三、线性组合与线性相关的关系
三 章
1. 充要条件
n 定理 向量组1,2 , ,m (m 2) 线性相关的充分必要条件是
维 向
P79 定理
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
3.1
量 空
证明 必要性
由 1,2 , ,m (m 2) 线性相关，有
21
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
例
2
设向量
1
1 1
,
1
2
3 0
,
2
3
1 0
,
n 维
0 0
1 0
0 1
向
则向量组 1, 2 , 3 线性无关。
量
空 间
例
设向量
1
102
,
3
2
源自文库0 1
,
2
3
0 0
,
3 0
1 0
4 1
则向量组 1, 2 , 3 线性无关。
思考 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？
6
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 下列向量组是否线性相关？ 三 章
n
维
向
量 空
答
(1) 相关，因为 31 42 (1)3 0;
间
(2) 相关，因为 01 02 13 0;
(3) 相关，因为 01 02 23 (1)4 0 .
7
§3.3 向量组的线性相关性
三
章 定义 对于给定向量组 1,2 , ,m , 若存在不全为零的(实)数
n 维 向
P77 定义 3.4
k1 , k2 , , km , 使得
k11 k22 kmm 0,
量
则称该向量组线性相关，否则称为线性无关。
空
间
注意 这里对于系数 k1, k2 , , km 的要求与线性组合中的区别 .
n 维 向
P75 定义
k11 k22 kmm 为向量组 1,2 , ,m 的一个
3.3 线性组合，称 k1，k2， , km 为组合系数。
量 空
若存在向量 b ，使得 b k11 k22 kmm ,
间
则称向量 b 是向量组 1,2 , ,m 的线性组合， 也称
b 可由向量组 1,2 , ,m 线性表出(或线性表示).
第
方法二 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
三 章
k11T
k2
T 2
k3
T 3
k4
T 4
0,
n
维 向 量
(
T 1
,
T 2
,
T 3
记为 A
,
T 4
)
k1 k2 k3 k4
0
,
空
间
由 | A| 16 0 , 得惟一解 ki 0, (i 1, 2, 3, 4),
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
维
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
向
量 空
证明 充分性 设 al 可由其余向量线性表示，即
间
al 11 l1l1 l1l1 mm ,
令 l 1, 则有
11 22 ll mam 0 ,
其中 1, 2 , , m 不全为 0.
故 1,2 , ,m 线性相关 .
空 间
即
1 0
0 1
1 k1 1 1 k2 2,
k1
(1 , 2 , 3 ) k2 b ,
k3
0 0 1 k3 3
求解得 k1 2, k2 1, k3 3,
故 b 21 2 33 .
此为待定系数法
5
§3.3 向量组的线性相关性
第 二、向量组的线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
n 维 向 量 空 间
轻松一下吧 ……
25
上述形式的向量组在求方程组的通解时会经常遇到。
22
§3.3 向量组的线性相关性
第 *例 设 n 阶方阵 A 0 且满足 A2 A , 证明存在矩阵 B 和 C ,
三 章
使得 A BC 且 C B I .
n 证 (1) 不妨设 A 的秩为 r，则存在可逆矩阵 P 和 Q ，使得
维 向 量
A
P
14
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
n
k1 k4 0 ,
kk12
k2 k3
0, 0,
k3 k4 0 ,
1 1
0 1
0 0
1 0
k1 k2
0
,
0 1 1 0 0 1
0 1
k3 k4
维
向
1 0 0 1
量 空
由于 1 1 0 0 2 0 ,
间
011 0
001 1
因此只有惟一解 k1 0, k2 0, k3 0, k4 0,
注 (1) 组合系数 k1, k2 , , km 不要求非零； (2) 零向量是任意相同维数的向量组的线性组合。
2
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
设 （2, 3）, e1 （1, 0）, e2 (0,1) ,
章
则 2e1 3e2 就是向量 e1 , e2 的一个线性组合。
n
维 向
例
设 1 (1, 2, 1), 2 (2, 3, 1), b (3, 1, 0),
(3) 三维空间 R 3中的四个向量是否一定线性相关？
11
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 已知行向量组为 1 (1, 1, 1, 1), 2 (1, 1, 1, 1),
三 章
3 (1, 1, 1, 1), 4 (1, 1, 1, 1),
问向量组 1, 2 , 3 4 是否线性相关？
维 向
解
令
k1b1 k2b2 k3b3 k4b4 0 ,
量
空
k1(1 2 ) k2(2 3 )
间
k3(3 4 ) k4(1 4 ) 0 ,
(k1 k4 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 (k3 k4 )4 0,
由于向量组 1, 2 , 3 , 4 线性无关，有
向量是“共面”或者“共线”的。
8
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
n 维 向 量 空 间
例 解
向量组 1
令 k11
即
1 1 2
2 3 2
1
2
1 2
,
2
3 2
k22 k33 0 ,
3 4 5
k1 k2 k3
0 0 0
,
, 3
由于
(15431,2是23否, 线3 )性 kkk相132 关 ？0 ,
量 空
则 b 1 2 就是向量 1, 2 的一个线性组合。
间
此为观察法，还有待定系数法与初等变换法
3
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
n
例 线性方程组 (1 ,
P76 例6 修改
2,
,
m
)
x1 x2
xm
b 有解，则说明向量
b
维 向
能由向量组 1,2 , ,m 线性表示。
量
反之亦然。
n
维 解 方法一 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
向 量 空 间
(k1
,
k2, k3
记为 K
,
k4
)
1 2 3 4
0
,
K A 0,
记为 A
由 | A| 16 0 , 有 A 可逆， K 0 ,
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
12
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
例
1
2
3
向量组 1
1 2
,
2
3 2
,
3
4 4
是否线性相关？
n 维
解
由于 3 1 2 ,
即 1 2 (1)3 0,
向 量
因此向量组 1, 2 , 3 线性相关。
空 间 启示 (1) 线性相关与线性组合之间存在某种必然的联系。
(2) 三维空间 R3 中的三个向量线性相关，表明这三个
章
2
2
5
1
n 维
问向量组 1, 2 , 3 4 是否线性相关？
向 量
解
令 k11 k22 k33 k44 0 ,
空 间
即
k1 2k2 3k3 k4 0 , k1 3k2 4k3 k4 0 ,
2k1 2k2 5k3 k4 0 ,
不妨设 k4 1,
则方程组变为
间
k11 k22 kmm 0 ,
其中 k1, k2 , , km 不全为 0 . 不妨设 ki 0, 则有
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i
1
ki1 ki
i
1
km ki
m
.
即 i 能由其余向量线性表示。
16
§3.3 向量组的线性相关性
第 三、线性组合与线性相关的关系
三 章
1. 充要条件
n 定理 向量组1,2 , ,m (m 2) 线性相关的充分必要条件是
向 量
即 21 2 3 4 0 , 1, 2 , 3 4 线性相关。
空 间
思考
(1) 若直接设 k4 0,
从而求得 k1 0, k2 0, k3 0,
是否能够以此说明 1, 2 , 3 4 线性无关？
(2) 若向量 3改为3 (3, 4, 4)T , 是否仍然可以“不妨”
设 k4 1 ?
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
§3.3 向量组的线性相关性
章
一、向量组的线性组合
n
维 二、向量组的线性相关性
向
量 三、线性组合与线性相关的关系
空
间 四、几个简单的性质和结论
1
§3.3 向量组的线性相关性
第 一、向量组的线性组合
三
章 定义 设 1,2 , ,m 是一组向量，k1, k2 , , km 为实数，称
1 3 4 1 0, 225
因此得到惟一解 k1 0, k2 0, k3 0,
故向量组 1, 2 , 3 线性无关。
注 向量组 1, 2 , 3 线性无关，表明这三个向量不是“共面”
或“共线”的。
9
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
1
2
3
1
已知向量 1 1 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ,
第 四、几个简单的性质和结论 P80
三 章 (1) 单个零向量是线性相关的；
n
单个非零向量是线性无关的。
维
向 (2) 含有零向量的向量组必相关；
量 空
含有成比例的向量的向量组必相关。
间 (3) 若向量组中有部分向量相关，则整个向量组相关；
若向量组无关，则它的任何部分向量组都无关。
(4) 若向量组相关，则去掉一些分量后的向量组仍相关； 补 若向量组无关，则增加一些分量后的向量组仍无关。
k1 2k2 3k3 1, k1 3k2 4k3 1,
(?)
2k1 2k2 5k3 1,
10
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 章
即
1 1 2
2 3 2
3 4 5
k1 k2 k3
111
,
12 由于 1 3
22
3 4 1 0, 5
n 维
利用Cramer法则求解得 k1 2, k2 1, k3 1,
空
此式在分块矩阵中已给出
间
注意线性组合的表达形式
注
线性组合通常表示为：
k11 k22 kmm 其中，i 为列向量。
(1 ,
2,
,
m
)
k1 k2
km
.
4
§3.3 向量组的线性相关性
第 三 例设 章
n
将 b 表示为向量组 1, 2 , 3 的线性组合。
维
向 量
解
令 b k11 k22 k33 ,