区间分析

[115 − 1.96 × 7 /
9 , 115 + 1.96 × 7 / 9 [x - zα 2 = [110.43 , 119.57]
]
σ0
n
, x + zα
2
σ0
n
]
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σ 2未知时，估计均值 µ (2) 方差 未知时，
未知， 由于方差 σ 2 未知，
第七章 参数估计
§3 区间估计
而选取样本函数： 而选取样本函数： T =
X −µ S/ n
~ t ( n − 1). （P143定理3）
分布表， 使得： 对于给定的 1 − α ，查 t分布表，找 λ 1 与 λ 2，使得：
P{| T |≤ t } = 1 − α，
α
2
（P140的(3.11)式： t分布上分位点定义）
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由样本值算得： 解：已知 n = 7 , α = 0 .05 . 由样本值算得：
x = 112.8, s 2 = 1.29.
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第七章 参数估计
§3 区间估计
查表得 t 0.025 ( 6 ) = 2 .447 .由此得置信区间： 由此得置信区间：
1.29 1.29 , 112.8 + 2.447 112.8 − 2.447 7 7 = [111.75, 113.85] [ X - tα (n − 1) S , X + tα (n − 1) S ]
(X − Y ) ±
α
2
⋅
σ 12
m
+
2 σ2
n
µ1 − µ 2
2 σ 12 = σ 2
( X − Y ) − (µ
Sw
1
− µ2 )
但未知
了解
1 1 + m n
t (m + n − 2)
t α (m + n − 2)S w ⋅
2
1 1 + m n
其中 S
2 w
(m − 1)S12 + (n − 1)S 22 =
2
1） 总体均值 ）
µ
的区间估计
X − µ ~ N (0,1). （P142定理1） P142 1 构造样本的函数 Z = σ0 / n
所以
P{| Z |≤ zα } = 1 − α，
2
（看P50的（4.18）式: 标准正态分布上分位点 定义 ）
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推得，置信区间： 推得，置信区间：
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两个正态总体未知参数的置信区间（ 两个正态总体未知参数的置信区间（一）
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、 双侧置信区间的上、下限
(X − Y ) − (µ
2 σ 2、σ 2
1
− µ2 )
σ 12
m
均已知
不要求
+
2 σ2
n
N (0， 1) ，
(X − Y ) ± z
2
( n − 1) S ( n − 1) S 2 推得： 推得： 2 ≤σ ≤ 2 χ α ( n − 1) χ α ( n − 1)
2 1− 2
这就是说，置信区间为： 这就是说，置信区间为：
2 2 (n − 1)S (n − 1)S χ 2 (n − 1) , χ 2 (n − 1) α α 1− 2 2
2
n
2
n
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2）方差的区间估计（只介绍 µ 未知条件下方差的估计） ）方差的区间估计（ 未知条件下方差的估计）
设 X 1 , L , X n 为总体 X ~ N ( µ , σ 2 )的一个样本 .
样本函数： χ 2 = 样本函数： ( n − 1) S 2
σ2
~ χ 2 ( n − 1). （P143定理2）
2 2 (n − 1)S (n − 1)S χ 2 (n − 1) , χ 2 (n − 1) α α 1− 2 2
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一个正态总体未知参数的置信区间
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、 双侧置信区间的上、下限
µ
σ 已知
j =1
2
S 12 S
2 2
σ 12
2 σ2
F ( m − 1，n − 1）
S 12 1 ⋅ 2， Fα (m − 1， n − 1) S 2
2
S 12 1 ⋅ 2 F1− α (m − 1， n − 1) S 2
2
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的收获量， 例4为比较甲乙两类试验田 的收获量，随机抽取 甲类试验田 8 块，乙类试验田 10 块，分别测得其 收获量如下（单位： 收获量如下（单位： kg ）：
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二、一个正态总体未知参数的置信区间
设X 1 , L , X n为总体 X ~ N ( µ , σ )的一个样本 , 在置信度1 − α下，来确定 µ的置信区间 [θ 1，θ 2 ]. 2 2 设已知方差 σ 2 = σ 0 , (1)总体方差σ 已知时，估计均值 总体方差 已知时，
ˆ ˆ P{θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 } = 1 − α , (0 < α < 1)
i
i
1
n
1
2
这时可认为有1-
ˆ ˆ 称区间 [ θ 1， θ 2 ] 为 θ 的置信度为 1 − α 的置信区间 .
ˆ ˆ α 的可靠性来估计的取值范围是在[θ，θ2 ]中。 1
θ 1 −α 给出该区间含真值 的可靠程度 . α 表示该区间不包含真值 的可能性 θ . 通常，采用95%的置信度，有时也取 的置信度， 通常，采用 的置信度 有时也取99%或90%. 或
2
χ 12− α (n)
2
σ2
µ 未知
1
σ2
∑ (X
n i =1
i
− X)
2
χ (n − 1)
2
∑ (X
i =1
2
i
− X)
2
∑ (X
n i =1
2
i
− X)
2
χ α2 (n − 1)
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χ 12− α (n − 1)
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第七章 参数估计
三、两个正态总体中未知参数的置信区间（了解） 两个正态总体中未知参数的置信区间（了解）
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第七章 参数估计
例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( µ , σ 2 )， 今抽查16个零件 测得长度（单位： 个零件， 今抽查 个零件，测得长度（单位：mm）如下： ）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 σ 2的置信区间 时 的置信区间. 在置信度为
2
X −µ
σ/ n X −µ
S/ n
1
N (0， 1) ，
X ± zα ⋅
2
σ
n
S n
σ 2 未知
t (n − 1)
2
X ± t α (n − 1) ⋅
2
µ 已知
σ
2
∑ (X
i =1
n
i
− µ)
χ 2 (n)
n
∑ (X i − µ )
i =1
n
2
( X i − µ )2 ∑
i =1
n
χ α2 (n)
[θˆ ( x ， L ， x ) ， θˆ ( x ， L ， x )]
1 1 n 2 1 n
就落在这个区间内． 于是可以认为未知参数 θ 就落在这个区间内．
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实现方法： 实现方法：
设总体 X含一待估参数 θ；对于样本 X 1 , L , X n , ˆ ˆ ˆ ˆ 构造统计量 θ = θ ( X , L , X )(i = 1,2), θ < θ , 若能建立起估计式：
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分布表， 对于给定的1 − α，查 χ 分布表，得 λ1与λ 2， 使得： 使得： P {λ ≤ χ 2 ≤ λ } = 1 − α，
2
1
2
虽然 χ 2 分布密度函数无对称性 ，我们仍采用使概率 对称的区间： 对称的区间： P { χ 2 < λ1 } = P { χ 2 > λ 2 } = α / 2，
甲类： 甲类：12.6 ，10.2 ，11.7 ，12.3 ，11.1，10.5 ，10.6 ，12.2 ， 乙类： 乙类：8.6 ， 7.9 ， 9.3 ，10.7 ，11.2 ，11.4 ， 9.8 ， 9.5 ，10.1， 8.5 ，
量都服从正态分布， 假设两类试验田的收获 量都服从正态分布，且 方 差相同． 差相同．试在置信度 1 − α = 0.95 下，求两个总体 的置信区间． 期望差 µ 1 − µ 2 的置信区间．
i =1 n
F (m ， n)
1 ⋅ Fα (m ， n)
2
n∑ ( X i − µ 1 )
i =1 n
m
2
m ∑ (Y j − µ 2 )
j =1 m
，
2
σ 12 2 σ2
µ 1、µ 2
均未知
了解
1 ⋅ F1− α (m ， n)
2
n∑ ( X i − µ 1 )
i =1 n
2
m ∑ (Y j − µ 2 )
查χ ( n − 1)分布表 , 得 λ 2 = χ α ( n − 1), λ1 = χ 1− α ( n − 1 ). 1−
2
2
2
2
2
(P139 （3.6））
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Leabharlann Baidu
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由此得： 由此得：
χ
2 1−
α
2
( n − 1) ≤
2
( n − 1) S
2
σ
2
≤ χ α ( n − 1)
2 2
试求总体均值 µ的置信区间 .
假设标准差 σ 0 = 7，置信度为 95 %；
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解： σ 0 = 7, n = 9, α = 0.05. 由样本值算得： 由样本值算得： 已知
1 x = (115 + 120 + L + 110) = 115 9 由此得置信区间： 查正态分布表得临界值 z 0.025 = 1 .96，由此得置信区间：
[ X - zα
2
σ0
n
, X + zα
2
σ0
n
]
是m 的置信度为1 - a 的置信区间.
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说明： 说明： 在置信度固定的条件下， 越大，置信区间越短， 在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间越短， 估计精度越高. 估计精度越高
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已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从 岁的 幼儿中随机地抽查了9人 其高度分别为： 幼儿中随机地抽查了 人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）; （ ）
第七章 参数估计 §3 区间估计
•置信区间与置信度 置信区间与置信度 •一个正态总体未知参数的区间估计 一个正态总体未知参数的区间估计 •两个正态总体中未知参数的区间估计(了解) 两个正态总体中未知参数的区间估计(了解) 两个正态总体中未知参数的区间估计
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第七章 参数估计
一、 置信区间与置信度 所谓区间估计就是以一定的可靠性来估计未知参数 的取值在某个区间范围内 对于一个具体问题， 对于一个具体问题，当 得到样本观测值 ( x1 ， L ， x n ) 体的区间： 后，我们便得到一个具 体的区间：
m+n−2
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两个正态总体未知参数的置信区间（ 两个正态总体未知参数的置信区间（二）
待估 参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、 双侧置信区间的上、下限
2 µ 1、µ 2 n∑ ( X i − µ 1 ) / σ 1 2
m
均已知
不要求
2 m ∑ (Y j − µ 2 ) / σ 2 2 j =1
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解： n = 16, α = 0.05. 由样本值算得： 2 = 0.00244. 由样本值算得： 已知 s
χ 02.025 (15) = 27.5, χ 02.975 (15) = 6.26. 查χ ( n − 1)分布表 , 得
2
由此得置信区间： 由此得置信区间：
15 × 0.00244 15 × 0.00244 , = [0.0013,0.0058] 27.5 6.26
设 ( X 1 ， L ， X m ) 是从正态总体 X ~ N µ 1 ， σ 12 中抽取的样本， 中抽取的样本，
(
)
(Y1 ， L ， Yn ) 是从正态总体 Y
中抽取的样本， 中抽取的样本，
2 ~ N µ2 ， σ 2
(
)
的各种置信区间： 下表给出了置信水平为 1 − α 的各种置信区间：
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第七章 参数估计
推得，置信区间为： 推得，置信区间为：
[ X - tα (n − 1)
2
S n
, X + tα (n − 1)
2
S n
]
用仪器测量温度，重复测量7次 例2 用仪器测量温度，重复测量 次，测得温度 分别为： 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 度 设温度 X ~ N ( µ , σ 2 )。 的所在范围。 在置信度为 95 %时，试求温度的均值 µ 的所在范围。