(平面几何最值问题的几种求解方法)

平面几何最值问题的几种求解方法
曹永启 （深圳清华实验学校 518126）
平面几何最值问题在近几年数学竞赛中频频出现。

第十六届希望杯数学全国邀请赛初二2试最后一题就是一例。

此类问题求解方法多，涉及知识面广，这对于初涉平面几何的初中学生来说，处处受限，难度较大。

本文旨在通过实例介绍几种初中生能接受的求解方法。

一，平移法
平移法一般是寻求特殊位置的几何图形，结合图形的平移来解决问题。

其基本依据有：两点之间线段最短，（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。

直角三角形中斜边大于直角边，（从直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短等）。

例1，（一个古老的问题）假设河岸为两条平行线，在河岸两侧有A 村和B 村，要在河上架一座垂直河岸的桥，使A 村到B 村路程最短，如何确定架桥的位置？ 解：设河岸为L 1、 L 2，则L 1∥L 2，两岸距离为d ，过A 点作AA ′⊥L 1，且AA ′=d,连结BA ′交L 2于D ，过D 作CD ⊥L 2交L 1于
C ，则C
D 即为架桥的位置。

（如图1）
由作法可知，四边形AA ′DC 是平行四边形，（AA ′∥DC 且AA ′=DC ）
所以AC= A ′D.即AC+BD= A ′B ，而A ′、B 两
点以A ′B 最短，故AC+CD+BD 为最短。

例2，在XOY 的边OX 、OY 上分别取一点A 、B ，使OA+OB 为定长L ，试证：当OA=OB 时AB 的长最短。

（如图2）
分析：设OA=OB ，OA+OB=L （定长）为了证明AB 的长最短，可在OX 和OY 上分别另取一点A ′、B ′，使O A ′+OB ′=L ，连A ′B ′，则问题变为证明AB ＜A ′B ′。

证明：把A ′B ′平移到AC ，则A ′B ′CA 为平行四边形 ∵OA+OB=O A ′+OB ′ ∴A A ′=BB ′而A A ′=CB ′∴BB ′=CB ′ ∠B ′BC=∠B ′CB ∴∠ B ′BC=
XOY Y CB ∠=∠2
1
21' ∴∠B ′BC+∠OBA=90˙
∴∠ABC=90˙ ∴AB ＜AC=A ′B ′（直角三角形斜边大于直角边） 二，反射法
反射法主要可解决以下两个类型问题。

1，已知A 、B 在直线L 两侧，
① 如何在L 上找一点P ，使PA+PB 最短。

（如图3） ②如何在L 上找一点P ，使PA-PB 最大。

（如图4）
L 1
2
X O Y
B
B'
2，已知A 、B 在直线L 同侧，
① 如何在L 上找一点P ，使PA+PB 最小。

（如图5） ② 如何在L 上找一点P ，使PA-PB 最大。

（如图6）
L
其依据有：两点之间线段最短，（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）等。

例3，（2005年希望杯初二2试最后一题）如图7，正三角形ABC 的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的一动点，连结PB 和PD 得到△PBD ，求： （1） （略）
（2）△PBD 的周长的最小值。

分析：点B 、D 在直线AC 同侧，在AC 上找一点P’，使P’D+P’B 最小。

解：作D 点关于AC 的对称点D’，连结DD’交AC 于E 点，连结BD ′交AC 于P ′点, 则△P ′BD 的周长为最小。

过D ′点作D ′F ⊥BC ，交BC 的延长线于F 点。

∵DE ⊥AC
且有DB=DC ∴a AD DE 4321==
,∴a DD 2
3'=,又∠A=60˙，∴∠D ′DC=30˙，∴D ′F=
2
1
D ′D=a 43 ∴DF=a 4
3
,∵BD=a a a BF
a 4
5
432,21=+=∴ ∴a BD 27'=
∵P ′D=P ′D ′ ∴P ′B+P ′D= P ′B+ P ′D ′=a BD 2
7
'= ∴ a a a BD D P B P 2
7
1722''+=+=
++ 同样也可作B 点关于AC 的对称点求解。

例4，（2000年全国联赛题）如图7，设正△ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则
.____________22=-t s
L
B
L
B
C
D'F
解：最小值t 可用上题结论得，
7=t .
再求最大值s ∵PA ≤AC ， PM ≤CM ∴ PA+PM ≤AC+CM=32+（当P 点为顶点
C 时取等号）∴s=32+ ∴
342
2=-t s 例5，(2001年“五羊杯”邀请赛试题) 如图8，∠AOB=45˙，角
内有一点P ，PO=10，两边上各有点Q 、R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_________。

解：作点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连结1P 2P 交OA 、OB 于Q 、R ，连结PQ 和PR ，则△PQR 即为所求三角形。

根据轴对称性质知，PQ= 1P Q ，PR=2P R ， PQ +QR+PR
=1P Q+QR+2P R= 1P 2P 即为△PQR 周长的最小值。

（两点间线段最短） ∵∠ P 1OA=∠POA ∠POB=∠2P OB ∴∠ P 1O 2P =90˙ 又∵P 1O=PO=2P O=10 ∴P 12P =210 即为所求。

三，代数法
代数方法灵活性、技巧性较高。

主要依据有： ○1若两线段之积为定值，则当两线段相等时，其和最小。

○2若两线段的平方和为定值，则当两线段相等时，其和最大。

○3若两线段的和为定值，当两线段相等时，其积为最大。

例6，（2000年希望杯初二培训题）如图9，P 为线段AB 上一点，以AP 为边作一正方形APMN ，以BP 为底在另一侧作等腰△BPQ ，连结MQ ，若AB 的长为4，则△MPQ 的面积的最大值等于________。

分析：要构造两条线段使它们的和为定值，则它们的积有
最大值。

解：设AP=MP=x 则BP=4-x 由题知，点Q 到MP 的距离是点B 到MP 的距离的一半。

所以，12242124212
=⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-•
=∆x x x x S MPQ 即△MPQ 的面积的最大值等于1。

（两线段和一定，当两线段相等时，其积最大）
例7，（如图10）已知矩形ABCD ，AB=20，BC=10，在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+NM 值最小，并求最小值。

B
N
解：在AC 上取一点M ，过M 作MN ⊥AB 于N ，连结BM 。

设MN 为x ，则AN 为2x ，BN=20-2x
()()
8016522022
2+-=
-+=
x x x x BM
设y=BM+MN=x+()
801652+-x x
则y-x=()
801652+-x x
即有()0400802422
=-+-+y x y x
因为x 是实数，所以△=
()()04004480222
≥-⨯--y y 即，0162
≥-y y 所以 y ≥16 当y=16时可得x=6即MN=6，AN=12，AM=56
BM+MN 的最小值是16 。

参考书目：1，数学竞赛辅导讲座 主编 熊大寅等 2，竞赛解题指导 初中数学 主编 刘诗雄等
B
D
N
2x。