数学建模优化建模实例【精选】

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货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
目标 Max Z 3100(x11 x12 x13) 3800(x21 x22 x23)
函数 (利润)
3500(x31 x32 x33) 2850(x41 x42 x43)
货舱 x11 x21 x31 x41 10 重量 x12 x22 x32 x42 16
优化建模实例
1Leabharlann Baidu
例1 货机装运 三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3)
前仓：
中仓：
后仓：
飞机平衡
10；6800
16；8700
8；5300
三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例
重量（吨） 空间( 米3/
吨）
货物1
18
480
货物2
15
650
货物3
23
580
货物4
12
390
利润（元/ 吨） 3100
3800
10； 6800
16； 8700
8； 5300
约束 条件
货舱 容积
x13 x23 x33 x43 8
480 x11 650 x21 580 x31 390 x41 6800 480 x12 650 x22 580 x32 390 x42 8700 480 x13 650 x23 580 x33 390 x43 5300
x3 My3, x3 80 y3, y3 {0,1}
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• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP）
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3非负整数
整数 规划 模型
(IP)
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汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 8
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1} M为大的正数，
x2 My2, x2 80 y2, y2 {0,1} 可取1000
x1 0, x2 0, x3 80 x1 0, x2 80, x3 0
x1 0, x2 80, x3 80
x1 80, x2 0, x3 0 x1 80, x2 80, x3 0 x1 80, x2 0, x3 80
x1 80, x2 80, x3 80 x1 , x2 , x3 0
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
成本 5.0 5.1 5.4 5.5
• 除第4周外每周的生产 能力超过每周的需求； • 生产成本逐周上升； •前几周应多生产一些。
模 • 饮料厂在第1周开始时没有库存；
型 • 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存；
假 设
• 周末有库存时需支出一周的存贮费；
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少 要生产80辆，那么最优的生产计划应作如何改变。
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汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
x31 x32 x33 23
x41 x42 x43 12
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例2 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
钢材（吨） 劳动时间（小时） 利润（万元）
小型 1.5 280 2
中型 3
250 3
大型 5 400 4
3500
2850
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
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货机装运
模型假设
每种货物可以分割到任意小； 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙；
模型建立
决策 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨） 变量 i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。
实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
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例3 饮料厂的生产与检修计划
周次
需求量(千箱)
生产能力(千箱)
1
15
30
2
25
40
3
35
45
4
25
20
合计
100
135
成本(千元/千箱)
5.0 5.1 5.4 5.5
• 剩余产品需要支付贮存费，每周0.2千元/千箱；
应如何安排计划，在满足每周市场需求的条件下，使 四周的总费用最小 ？
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问题分析
周次 1 2 3 4
合计
需求 15 25 35 25 100
能力 30 40 45 20 135
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货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡 要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
条件
x13 x23 x33 x43 8
货物 供应
x11 x12 x13 18 x21 x22 x23 15