数学史选讲---高一数学讲座

《几何原本》对数学发展的意义 几何原本》
《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有的数 几何原本》 学理论,包括几何学 数论等,成为近代西方数学 包括几何学,数论等 学理论 包括几何学 数论等 成为近代西方数学 重要源泉. 的重要源泉 《几何原本》是希腊人根据几何材料的内在联 几何原本》 ,以概念作为判断和推理的基础逐步形成了 以概念作为判断和推理的基础逐步形成了数 系,以概念作为判断和推理的基础逐步形成了数 学证明的观念 的观念,这是对数学认识的一个质的飞跃 学证明的观念 这是对数学认识的一个质的飞跃
就既不可能表达，也不可能理解任何事物。 就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
二、毕达哥拉斯学派 2．勾股定理（毕达哥拉斯定理） ．勾股定理（毕达哥拉斯定理）
c = a +b
2 2
2
赵爽的“弦图 ”
欧几里得的证明原图
2002.8 国际数 学家大会会徽
二、毕达哥拉斯学派 3பைடு நூலகம்不可公度 ．
万物皆数 可公度 不可公度
《几何原本》的基本内容分析 几何原本》
五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 过两点能作且只能作一直线 过两点能作且只能作一直线； 2.线段 有限直线 可以无限地延长； 线段(有限直线 可以无限地延长； 线段 有限直线)可以无限地延长 3.以任一点为圆心 任意长为半径 可作一圆； 以任一点为圆心,任意长为半径 可作一圆； 以任一点为圆心 任意长为半径,可作一圆 4.凡是直角都相等； 凡是直角都相等； 凡是直角都相等 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧 同平面内一条直线和另外两条直线相交， 同平面内一条直线和另外两条直线相交 的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这 的两个内角之和小于 ° 一侧一定相交 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 等于同量的量彼此相等； 等于同量的量彼此相等 2.等量加等量，其和相等； 等量加等量， 等量加等量 其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 等量减等量， 等量减等量 其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 彼此能重合的物体是全等的； 彼此能重合的物体是全等的 5.整体大于部分。 整体大于部分。 整体大于部分
《几何原本》自成书以后,在数学界产生巨 几何原本》自成书以后 在数学界产生巨 大而深远的影响,成为数学史上乃至科学史 大而深远的影响 成为数学史上乃至科学史 上严格的演绎的公理化体系 最早的典范 演绎的公理化体系的 的典范. 上严格的演绎的公理化体系的最早的典范
（约前 约前287年—前 年 前 约前 212年），伟大的 年），伟大的 古希腊哲学家、 古希腊哲学家、 数学家、 数学家、物理学 力学家， 家、力学家，静 力学和流体静力 学的奠基人。 学的奠基人。
2012-5-14
时至今日， 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及 其许多应用中最基本的概念之一。 其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸 如几何学、代数拓扑学、函数论、 如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他 许多数学分支中而起着重要的作用， 许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些 新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等， 新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们 还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、 还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流 代数簇等，并在结晶学、理论物理、 形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学 以至（代数）编码学、自动机理论等方面， 以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重 要的应用。作为推广“ 的概念的产物： 要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和 幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论 的应用，也有很大的发展。 的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程 序的研究，已在迅速地发展。 序的研究，已在迅速地发展。
《几何原本》建立的历史背景 几何原本》 1、泰勒斯开始了命题的证明，为几何建立到 、 开始了命题的证明，
论证体系中迈出了第一步。 论证体系中迈出了第一步。
2、毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。 、毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。 开始了数学的抽象研究 3、体系的划定，主要是研究几何作图的三 、体系的划定， 大问题：化圆为方、立方倍积、三等分任意角。 大问题：化圆为方、立方倍积、三等分任意角。 4、内容的积累、方法的积累 、内容的积累、方法的积累——穷竭法 穷竭法 5、逻辑作为工具 、 6、欧几里德完成了对《几何原本》的历 、欧几里德完成了对《几何原本》 史性整理
“
公元前6 世纪——6 世纪 初等数学时期 公元前 世纪
算术、几何、代数、三角术全面开创， 算术、几何、代数、三角术全面开创，崇尚逻辑证明和推 理，形成理论体系
1:演绎体系的形成：《几何原本》-----古希腊 演绎体系的形成： 几何原本》 古希腊. 演绎体系的形成 古希腊 2:代数学的发展： 《算术》 代数学的发展： 算术》 代数学的发展 ------古希腊 古希腊
2012-5-14
远古—— 公元前 世纪 公元前6 数学萌芽时期 远古
用十个记号来表示一切数， 用十个记号来表示一切数，每个记号不但有 绝对值，而且有位置的值，这种巧妙的方法 绝对值，而且有位置的值， 出自印度。这是一个深远而又重要的思想， 出自印度。这是一个深远而又重要的思想， 它今天看来如此简单， 它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的 真正伟绩。 真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切 计算都提供了极大的方便， 计算都提供了极大的方便，才使我们的算术 在一切有用的文明中列在首位；而当我们想 在一切有用的文明中列在首位； 到它竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米 德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时， 德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注时，我 们更感到这成就的伟大了.” 们更感到这成就的伟大了 ——拉普拉斯 拉普拉斯 2012-5-14
《几何原本》的基本内容分析 几何原本》
目录 第一卷 几何基础 第二卷 几何与代数 第三卷 圆与角 第四卷 圆与正多边形 第五卷 比例 第六卷 相似 数论（ 第七卷 数论（一） 数论（ 第八卷 数论（二） 数论（ 第九卷 数论（三） 第十卷 无理量 第十一卷 立体几何 第十二卷 立体的测量 第十三卷 建正多面体
赌友说，他要再碰上两次正面，或梅素 赌友说，他要再碰上两次正面，或梅素要再 碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按 他主张赌金应按2： 碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按 ：1 来分。 自己分64个金币的 梅素分64个金币 来分。即自己分64个金币的 1 ，梅素分64个金币 2 的 ． 3
代数的发展
二次方程的解法 三次、四次方程的解法 三次、
一元多项式方程是否可用 根式求解的问题
卡丹公式
一元三次、四次方程求根公式找到后， 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们 在努力寻找一元五次方程求根公式， 在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过 去了，但没有人成功， 去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得 到结果的人当中，不乏有大数学家。 到结果的人当中，不乏有大数学家。
发现 证明
第一次数学危机
希帕苏斯
阿基米德
那是一个涌动着智慧、思想和理性的光辉时代 那是一个涌动着智慧、思想和理性的光辉时代……
理性的火炬已经点燃,希腊数学的黄金时期即将来临。 理性的火炬已经点燃,希腊数学的黄金时期即将来临。
欧几里德与《几何原本》 欧几里德与《几何原本》 《几何原本》是希腊时期乃至整个人类历 几何原本》 史上最重要的数学著作.古希腊数学家欧几 史上最重要的数学著作 古希腊数学家欧几 里德将之前的希腊数学进行了整理,它成书 里德将之前的希腊数学进行了整理 它成书 与公元前300年左右 年左右. 与公元前 年左右
欧多克斯学派 埃利亚学派
一、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯 古希腊数学的先行者
伊奥尼亚学派创始人 古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
泰勒斯最先证明了如下的定理: 泰勒斯最先证明了如下的定理: 1.两直线相交 对顶角相等。 两直线相交， 1.两直线相交，对顶角相等。 2.等腰三角形两底角相等 等腰三角形两底角相等。 2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分 圆被直径二等分。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角 半圆上的圆周角是直角。 4.半圆上的圆周角是直角。 ----泰勒斯定理 ----泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理 两个三角形全等的边角边定理。 5.两个三角形全等的边角边定理。
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远古—— 公元前 世纪 公元前6 数学萌芽时期 远古 公元前6 世纪——6 世纪 初等数学的开创 公元前 世纪 公元6 世纪——16 世纪末 初等数学交流发展时期 公元 世纪 世纪——18 世纪 近代数学创立时期 17 世纪 近代数学成熟时期 19 世纪初 —— 现在
代数学的中心问题即五次以上的一元多项式 方程是否可用根式求解的问题时,经由 经由J.-L.拉格 方程是否可用根式求解的问题时 经由 拉格 朗日、 鲁菲尼 鲁菲尼、 阿贝尔和E.伽罗瓦引入 朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和 伽罗瓦引入 阿贝尔和 和发展， 和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心 问题。 问题。
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分赌注
1651年 法国一位贵族梅素向法国数学家、 1651年，法国一位贵族梅素向法国数学家、物 分赌注” 理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的 “分赌注” 问题． 问题． 问题是这样的:一次梅素和赌友掷硬币， 问题是这样的:一次梅素和赌友掷硬币，各押赌注 32个金币 双方约定， 个金币． 如果先掷出三次正面， 32个金币．双方约定，梅素如果先掷出三次正面， 或者赌友先掷三次正面，就算赢了对方． 或者赌友先掷三次正面，就算赢了对方．赌博进 行了一段时间， 已经两次掷出正面， 行了一段时间，梅素已经两次掷出正面，赌友已 经一次掷出正面．这时候梅素接到通知， 经一次掷出正面．这时候梅素接到通知，要他马 上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了．请问： 上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了．请问： 两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢? 64个金币才算合理呢 两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?
从泰勒斯开始， 从泰勒斯开始，命题证明成为 希腊数学的基本精神。 希腊数学的基本精神。
二、毕达哥拉斯学派 1．毕达哥拉斯（Pythagoras） ． ）
• 希腊论证数学的另一位祖师 • 公元前 公元前551—前479年 前 年 • 精于哲学、数学、天文 精于哲学、数学、 学、音乐理论 • 毕达哥拉斯学派创始人 • 信奉“万物皆数 信奉“ ” 费洛罗斯曾说: 人们所知道的任何事物都包含数 因此， 人们所知道的任何事物都包含数。 费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数
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古希腊数学
公元前600年——600年 年 公元前 年
数学作为一门有组织、 数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来 在古希腊学者登场之前是不存在的。 说，在古希腊学者登场之前是不存在的。
---M 克莱因 ---M·克莱因
伊奥尼亚学派
毕达哥拉斯学派
亚里士多德学派 柏拉图学派 诡辩学派
2012-5-14
一天， 一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫 中的“柏拉图学园” 只见学园的大门紧闭着， 中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着， 门口挂着一块木牌，上面写着： 不懂数学者， 门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者， 不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩 这是当年柏拉图亲自立下的规矩， 不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩， 为的是让学生们知道他对数学的重视， 为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把 前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想， 前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是 因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀， 因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂 还来这儿做什么?正在人们面面相觑， 了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是 是进的时候，有一个人从人群中走了出来， 退、是进的时候，有一个人从人群中走了出来， 只见他整了整衣冠，看了看那块牌子， 只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断 地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。 地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。