利用施密特正交化方法ppt课件

5
11 1
11
3
0
1 1T
2 2 2

11
15
3
2
1T
1
1


0

1

1

1
2

1


3

32

1

3 3 3

1 1
35
3
3
4T
则 1, 2, 3 为所求单位正交组.
1
3

1

《线性代数》课题组
例1 已知向量组
1 1 0 1 1 T ,2 1 1 0 1 T ,3 1 1 1 0 T
线性无关，试将其化为标准正交组. 解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化
取 111011T
2 2( ( 2 1,, 1 1 ) )11 31 321 T

1
6





1 6

,
2
6
《线性代数》课题组
以单位正交向量 1, 2, 3 为列得正交矩阵



1 2
1 6
1
3

Q



1 2
1 6
1
3


0
2 1
6
3
特征值与特征向 量应对应
使得
1

Q 1AQ



1

利用施密特正交化方法将 1 与 2 正交化，得
1
1

1


1

,
0
1 1 1
1


1
,2

0
,3
1
0
1
1
1 1Βιβλιοθήκη Baidu 1
22((1 2,,11))11 01 21 01 212
知识点7--用正交矩阵使对称矩阵对角化
1. 施密特正交化方法 2. 用正交矩阵使实对称矩阵对角化的步骤
《线性代数》课题组
一、施密特正交化方法
设 1,2, ,r是线性无关向量组，如何将该向量组
单位正交化？
1）正交化
令 1 1 2 2 12,,111
rr 1 r ,,1 1 1 2 r, ,2 2 2 r r 1 ,,r r 1 1 r 1
33 ( (3 1 ,,1 1 ) )1 ( (3 2 ,,2 2 ) )2 5 1 1334 T
《线性代数》课题组
所得的1,2,3 即是与1,2,3 等价的正交向量组.
第二步，再单位化
由于
1

3, 2

15, 3
3

35，所以令
再将1, 2,3
单位化
1, 2,3 的模各是多少？
《线性代数》课题组
再单位化，得



1
2

1
1 1



1 2

,

2


2 2
0


将 3 单位化，得
1

3

3
3 3



1
3

1
3


4
对角阵
《线性代数》课题组
小结
施密特正交化方法 用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤
求特征值 求特征向量 正交化、单位化 构造正交阵Q 构造对角阵
《线性代数》课题组
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
13
例2
用正交矩阵将 A


1 1
2 1
1 2

对角化.
解 矩阵 A 的特征值为
121,34
对应的特征向量为
1 1
1
1


1

,

2


0

,
0
1

3


1

1
如何求A的 特征值与 特征向量
《线性代数》课题组
i
的n
个线性
i
无关的特征向量正交化，再单位化；
《线性代数》课题组
（4）将总共得到的 n 个单位正交特征向量作为矩
阵 Q 的列向量，则Q 为所求正交矩阵；
（5）Q 1 A Q 为对角矩阵，其主对角线上的元素为A 的全部特征值，它的排列顺序与Q 中正交单位 向量的排列顺序相对应.
《线性代数》课题组
2 1 1
则 1,2, ,r两两正交，且与 1,2, ,r等价.
《线性代数》课题组
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
2）单位化
令 1 1 11 ,2 1 22 , ,r 1 rr,
则可得到与1,2, ,r等价的单位正交组 1,2, ,r.
这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序 不可交换.
3
5 3


4

《线性代数》课题组
二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤
（1）求出特征方程 E A 0的全部实特征值；
（2）对每一个n i 重的特征值 i ，解齐次线性方程组
(iEA)x0，得到 n i 个线性无关的特征向量；
（3）利用施密特正交化方法，把属于