第0章 矢量分析

例2. 求 f = 4e 2x− y+ z 在点P1(1,1,−1) 处的由该点指向P2(-3,5,6) 方向上的方 − 向导数。 向导数。 解： ∇f = ∇(4e 2 x-y + z ) = 4∇(e 2 x-y + z )
= 4e 2 x-y + z ∇(2 x − y + z ) = 4e 2 x-y + z (2 e x − e y + e z )
▽算符的特性： 算符的特性： 在不同坐标系下▽算符有不同的表达形式； ① 在不同坐标系下▽算符有不同的表达形式； 算符单独存在没有任何意义； ② ▽算符单独存在没有任何意义； 算符的矢量特性： ③ ▽算符的矢量特性：
∇ ⋅ ∇f = ∇ 2 f
算符的微分特性： ④ ▽算符的微分特性： ∂ ∂ ∂ ∇( fg ) = ( fg )e x + ( fg )e y + ( fg )e z ∂x ∂y ∂z ∂g ∂f ∂f ∂f ∂g ∂g = f + g ex + f + g ey + f + g ez ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y
e12 =
F 在P1处沿 12方向上的方向导数 处沿R
∂f ∂R12 = ∇f
P1 P1
⋅ e12
= 4(2 e x − e y + e z ) ⋅
− 4 ex + 4 e y + 7 ez 9 4 20 = [2 × ( −4) + ( −1) × 4 + 1 × 7] = − 9 9
0.3 矢量场的通量及散度
可见进行梯度运算，只需先按微分公式运算， 可见进行梯度运算，只需先按微分公式运算，d ( fg ) = fd g + g d f 换成▽ 再将 d 换成▽算符即可。
= f∇g + g∇f
∂g ∂f ∂g ∂g ∂f ∂f ex + ey + ez + g ex + ey + ez = f ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x
∇f ⋅ d l = 0
3. ▽算符 由 改写
∇f = (
∂f ∂f ∂f ex + e y + ez ) ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ ∇f = e x + ey + ez f ∂x ∂y ∂z
定义del 算符 定义
∇ = ex
，
∂ ∂ ∂ + ey + ez ∂x ∂y ∂z
f=2 f=1
f=0
f = -1 f=3
2. 标量场的梯度
考察V 考察 中有连续偏导数的标量 场ƒ(x,y,z) ： 它在(x,y,z)点邻域内沿某一 它在 点邻域内沿某一 方向的变化情况 点到(x+dx,y+dy,z+dz) 由(x,y,z)点到 点到 点的微分位移——线元矢量 点的微分位移 线元矢量
1 2( x − x′) ( x − x′) = ⋅ = 2 R R
同理 则
∂R ( y − y ′) = ∂y R
∇R =
∂R ( z − z ′) = ∂z R
∂R ∂R ∂R ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z 1 R = [( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z ] = = e R R R 再运用▽ 再运用▽算符的微分特性 e 1 1 1 R ∇ = − 2 ∇R = − 2 ⋅ = − R （R ≠ 0） ） 2 R R R R R
1. 矢量场的概念
定义： 定义：F(r，t) 特点： 单值性； 占有一个空间。 特点：①单值性；②要占有一个空间。 分类： 分类：F(r)、F(r , t) 、 形象描述：用矢量线（简称 线 形象描述：用矢量线（简称F线） 直角坐标系下 F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez 由
y
定义梯度
∇f = (
∂f ∂f ∂f ex + ey + ez ) ∂x ∂y ∂z
标量场微增量
df = ∇f ⋅ d l
称为标量场梯度的定义式 称为标量场梯度的定义式 讨论： 讨论： 梯度是矢量， ① 梯度是矢量，它有的大小和方向
df = ∇f ⋅ d l = ∇f dlcosθ
最大值dƒ| 最大值 |max= ∇ f d l ② 方向导数 dl的取向与 ∇f 的方向不一致 的取向与
BxБайду номын сангаасBy Bz
5. 三矢量的乘积 标量三重积
Ay
Az
Cx
By Bz C y Cz
• 矢量三重积
A×(B×C) = B (A·C) − C (A·B) × ×
z
0.1.3 位置矢量与相对位置矢量 1. 位置矢量 P点的位置矢量 —— r点 点的位置矢量r 点的位置矢量 点 r = x ex + y ey + z ez r = (x2 + y2 + z2 )1/2 2. 相对位置矢量 R = r − r′ ′ = (x − x′) ex + (y − y ′) ey +( z− z ′) ez ′ − 场点——场点坐标（x, y, z）或r 场点坐标（ 场点 场点坐标 ） 源点——源点坐标 (x′, y′, z′) 或r′ 源点 源点坐标 ′ ′ ′ ′ 3. 相对坐标函数 与相对位置矢量有关标量函数和矢量函数 ƒ (R) = ƒ ( r − r′ ) = ƒ (x − x′, y − y ′, z− z ′ ) ′ ′ − F (R) = F( r − r′ ) = F (x − x′, y − y ′, z− z ′ ) ′ ′ −
ex·ex = ey·ey = ez·ez = 1 ex·ey = ey·ez = ez·ex = 0
4. A和B的矢量积（叉积 ） 和 的矢量积 的矢量积（ A×B= ABsinθ en × 注意它的大小和方向
A·B = Ax Bx + AyBy + AzBz
特点: 特点:（1）两矢量的叉积是一个矢量； 两矢量的叉积是一个矢量； （2）A×B = −(B×A)； ） × × 反之亦然； （3）A与B平行，A×B=0，反之亦然； ） 与 平行， × （4）A×A=0。 ） × 在直角坐标下 ex×ex = ey×ey = ez×ez =0；
0 矢量分析
0.1 矢量代数与位置矢量
0.1.1 矢量和标量 标量： 、 、 标量： f、g、ϕ、 ψ ：A或 r 、a或 r ，其模|A|或A 矢量： 矢量 | a A
在直角坐标系中
Ax
0
z
A Az y
A=exAx+eyAy+ezAz
|A|= ( 0.1.2 矢量运算
1.加减法 .
A2
x+
A2
y
+
dl F F线 线
F× d l = 0
(Fy dz− Fz dy) ex + (Fz dx− Fx d ) ey + (Fx dy− Fy dx) ez = 0
d x d y dz = = Fx Fy Fz F 线的微分方程。 线的微分方程。
2. 矢量场的通量
（1）恒稳液流场 ） 液体的流动特点 流量： 流量： S曲面 曲面 流速 面元 液流场v（ ） 液流场 （r,t） 恒稳液流场v（ ） 恒稳液流场 （r）
o
P ′ (x′,y,′z′) ′ ′ ′
R′ ′
r′ ′
R
P (x,y,z)
r
y
x
0.2 标量场及其梯度
1. 标量场的概念
标量场定义： 中的系统 中的系统—ƒ(r，t) 标量场定义：V中的系统 ， 特点： 单值性； 特点： ①单值性； 空间占有性。 ②空间占有性。 种类：恒稳标量场ƒ(r)， 种类：恒稳标量场 ， 时变标量场ƒ(r 时变标量场 , t) 形象描绘： 形象描绘：等值面 等值面方程 ƒ(x,y,z) = C 绘制等值面的原则 绘制等值面的原则 特点： 特点： 不同值的等值面不能相交； 不同值的等值面不能相交； 同值的等值面可以闭合。 同值的等值面可以闭合。
A2
z
)1/2
x
Ay
B = exBx + eyBy + ezBz
2. 标量 与矢量A的乘积 标量ƒ与矢量
A± B = e x ( Ax ± Bx ) + e y (Ay ± B y ) + e z ( Az ± Bz )
A (ƒ <0) ƒA
ƒA (ƒ >0)
ƒA = exfAx + eyfAy + ezfAz
z dl ƒ ƒ+dƒ (x+dx , y+dy , z+dz)
(x , y , z)
o
dl = dx ex+dy ey+d z ez
x 标量场的相应微增量 ∂f ∂f ∂f df = dx + dy dz ∂y ∂x ∂z 改写 ∂f ∂f ∂f df = ( e x + ey + e z ) ⋅ (dx e x + dy e y + dz e z ) ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f = ( e x + e y + ez ) ⋅ d l ∂x ∂y ∂z
ψ = ∫sv ⋅ d s
ψ >0 ψ <0
ψ =0
推广至一般矢量场： 推广至一般矢量场：
F(r, t)： ：
通量
ψ = ∫ F⋅ d s
s
闭合面通量
ψ = ∫ F⋅ d s
s
分析闭合面通量： 分析闭合面通量：
∫ F⋅ d s = 0 ∫ F⋅ d s > 0 ∫ F⋅ d s < 0
s
s
s
⇒
3. 矢量 和B的标量积(点积) 矢量A和 的标量积(点积) A·B = ABcosθ 特点：（1）A·B为标量，其正、负取决于θ 是角； 特点： ） 为标量，其正、 是角； 为标量 （2）遵从交换律 A·B=B·A； ） ； （3）A与B正交θ =90°时，A·B= 0，反之亦然； ） 与 正交 ° ，反之亦然； （4）A· A=A2。 ） 直角坐标下：各单位矢量关系 直角坐标下：
A×B ×
en
θ
A B
ex×ey = ez ey×ez = ex ez×ex = ey
右手坐标系
θ 角正方向
A×B = ex ( AyBz−AzBy)+ ey (Az Bx− Ax Bz)+ ez (AxBy−Ay Bx) ×
ex
= Ax
ey
ez
Ay Az
Ax
A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B) = Bx × × ×
R = [( x − x′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]1/2
∂R 1 = [( x − x′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]−1/2 ∂x 2 ∂ ⋅ [( x − x′) 2 + ( y − y ′)2 + ( z − z ′) 2 ] ∂x
4. 计算举例
有相对位置矢量R − ′的模R ′|， 例1. 有相对位置矢量 = r−r′的模 = |r−r′|，证明： − ′| 证明： R e 1 R ∇R = = eR 和 ∇ = − 3 = − R R R R R2 证：在直角坐标系中 R = ( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z
∇f =
df
max
dl
=
df dl
max
df = ∇f ⋅ d l = ∇f ⋅ dl el
∂f = ∇f ⋅ e l = (∇f ) l ∂l
③ 梯度与标量场的等值面处处正交
∂f = (∇f ) x = ∇f ⋅ e x ∂x ∂f = (∇f ) y = ∇f ⋅ e y ∂y ∂f = (∇f ) z = ∇f ⋅ e z ∂z
∇f
P 1
= 4e 2-1-1 (2 e x − e y + e z ) = 4(2 e x − e y + e z )
R12 ( −3 − 1) e x + (5 − 1) e y + (6 + 1) e z = R12 [( −4) 2 + 4 2 + 7 2 ]1/2 − 4 ex + 4 e y + 7 ez − 4 ex + 4 e y + 7 ez = = 9 81
v线 ds en
面元矢量 ds = ds en 穿过面元ds 穿过面元 的元流量 ‧ dψ = vnds = vcosθ ds = v‧ds 穿过S面的流量 穿过 面的流量
S
θ
v
ψ = ∫ dψ = ∫s v ⋅ d s
对于任意闭合面 对于任意闭合面S 任意闭合面 分析： 分析： 闭合面积分 流出多于流入 流入多于流出 流入等于流出 净流量 S内有 “正源” ； 内有 正源” S内有 “负源” ； 内有 负源” S内没有“源” 。 内没有“ 内没有