计算二重积分的几种方法

计算二重积分的几种方法

摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.

关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法

1 引言

本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。

2 积分的计算方法

2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法

定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分

()(),d

c

I x f x y dy =⎰存在，则累次积分

(),b

d a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰⎰也存在，且(,)(,)b d

a c R

f x y dxdy f x y dy dx

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

⎰⎰

证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是

011011i i n k k m a x x x x x b

c y y y y y

d --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=

这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为

11(,),1,2,,;1,2,,.

ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

设(){}(){}

[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k k m f y M y y y ξ-≤≤≤<.

已知一元函数(),i f

y ξ在[]1,k k y y -可积，有()11,,k

ik k i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将

此不等式对1,2,k m =…相加，有

()1

1

1

1

,k k m

m

m

y ik

k i ik k y k k k m

y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰

，其中

()()()1

1

,,k k m

y d

i i i y c

k f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰

⎰，即()1

1m

m

ik k i ik k k k m y I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以

i x ∆，然后对1,2,i n =…相加，有()11

1

11

n

m

n

n

m

ik i k i i ik i k i k i i k m x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的

左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1

n

i

i

i s T I x

S T ξ=≤

∆≤∑. (1)

已知函数(),f x y 在R 可积，根据定理有 ()()0

lim lim (,),T T R

S T s T f x y dxdy →→==

⎰⎰

又不等式（1），有()()0

1

lim

,n

i

i

T i R

I x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即

()()(),,.b b d

a a c R

f x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域

(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分

(),d

b c

a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰，也存

在，且

()(),,d

b c

a R

f x y dxdy f x y dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

⎰.

也可将累次积分(),b

d

a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰⎰与

(),d

b c

a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰分别记为

(),b

d

a

c

dx f x y dy ⎰

⎰和

(),d

b

c

a

dx f x y dy ⎰

⎰.

定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域

()()()[]{}1

2

,,,x y x y x x a b ϕϕ

≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x

型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .