最新结构力学第九章薄壁杆件扭转

微段扭转变性能为：
2
dVdx2Gtdsdx
1 Ms 2tds 2G2At
dx8GMsA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
ddx4G MsA 2 dt s
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
I t
4A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对 于图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)， 例如对于第2室，有
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q2a bd t sq2q 3b cd t sq2q4d cd t sq2q 1d ad t s2 G2 A
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
adsb h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
（9-10）
qdts2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
将上式代入（9-12），可得杆件得扭率
Ms
n
2G Aiqi
（9-16）
i 1
比较式(9-16)和式（9-2），即得多闭室薄壁截面
得扭转常数计算公式
n
It 2 Aiqi
（9-17）
i1
将上式代入式(9-16) 得
G M s It
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi
i
ds tk
qkikdt s2A2（9-15）
式中，i=1,2,3,…,n；式(9-15)是关于未知数 q i 的n元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料
已定时，q i 的所有系数以及方程式等号右边的常数项均 为已知。因此，由式（9-15）可解出 （q ii =1、2、 3、…）,代入式（9-14），得
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
Ms 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
Msd
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
M s GI t
（9-2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭
转常式数中），。hi、ti—截面It上第13 i个i h狭iti3长矩形（的9高-3）度（长边）
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
则
It
1 3
s1 t3ds
0
（9-4）
式中，si—壁厚中心线的总长
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
sห้องสมุดไป่ตู้
M st It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
结构力学第九章薄壁杆件 扭转
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三
个尺度通常满足如下关系：
b t 10
l
t 10
（9-1）
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
或写成
q22dt sq121dt sq323dt sq424dts2G2A
上式写成通用形式为：
沿第i与第k 室的公共
绕第i室的 周线积分
qi
i
ds tk
qkikdt s壁2积G分2A
（9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi
qi G
（9-14）
q i 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
btb atad x 0
或
qbtbata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
ds所对的扇形面积d为M ：s hqds 1
dA hds 2
qi Gqi
再将上式代入（9-14），最终得出各室剪流的计
算公式：
qi
qi
Ms It
（9-18）
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
Ms 2Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。