微积分 不定积分

,
1
1 x2
dx
arctan
x
C.
6
由不定积分的定义，可知
d dx
[
f ( x)dx]
f (x),
或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F( x)dx F( x) C,
或 dF( x) F( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
7
二、 基本积分表
实例
(6) cos x dx sin x C;
(7) sin x dx cos x C; 10
(8)
基
dx cos2 x
sec2 x dx tan x C;
本 (9) 积
dx sin2 x
csc2
x dx
cot
x
C;
分 (10) 表
secx tan x dx sec x C;
yx2
2
由曲线通过点(1,3) C 2,
1
所求曲线方程为 y x2 2.
2 1 O 1 2 x
1
2
13
第二节 不定积分的运算法则
(1) [ f (x) g(x)]dx f ( x)dx g( x)dx ;
证 [ f ( x)dx g( x)dx]
[ f ( x)dx] [ g( x)dx] f ( x) g( x) .
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C .
[F( x) G( x)] F( x) G( x) f ( x) f ( x) 0
故F(x) G(x) C
综合(2)(3),如果 f (x) 有一个原函数F( x) ,则 F(x) C 是 f (x) 的所有原函数的一般表达式.
4
定义 若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则称 F ( x) C 为 f (x) 的不定积分,
例3 (2x 3x )2dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x
2
6x 9x
C .
ln 4 ln 6 ln 9
15
例4
(1 x)2
dx
1
1
3
( x 2 2x 2 x 2 )dx
x
2
x
4
3
x2
2
5
x2
C
35
例5
1 x x2 x (1 x2 )
dx
x (1 x2 ) x(1 x2 ) dx
(11) csc x cot x dx csc x C;
(12) ex dx e x C; (13) a x dx a x C;
ln a
11
例3 求积分 x2 x dx .
5
解 x2 x dx x 2 dx
根据积分公式（2） x dx x1 C
1
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
12
例4 设曲线通过点(1,3), 且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
y yx2+2
2x dx x2 C,
f (x) x2 C,
(1, 3) ．
x
x
dx x
ln(
x)
C,
dx
x ln | x | C .
9
基 (1) k dx kx C (k是常数);
本 积 (2)
分 表
(3)
xdx x1 C
1
dx x
ln
x
C;
( 1);
1
(4) 1 x2dx arctan x C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf (x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
14
例1 (4x3 2x2 x 1)dx
直 接
x4
2
x3
2
3
x2
x
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
.
33
积 分
例2 (sin x 2cos x ex )dx
法
cos x 2sin x ex C .
本章所讲的内容就是导数的逆运算。
2
问题： (1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？ 原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F( x)，
使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数. 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
x 1
x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
8
基 (1) k dx kx C (k是常数);
本
积 (2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
ln
x
C;
说明： x 0,
dx x
ln x C,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
3
唯一性？
（1）若F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则对任何常数 C,
F(x) C 也是 f (x) 的一个原函数； （2）设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则 f ( x) 的任一个原函 数 G(x) 与 F ( x) 最多相差一个常数,即G( x) F ( x) C .
记为
f ( x)dx F( x) C .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
5
例1 求 x5dx.
解 ( x6 ) x5 , x5dx x6 C .
6
6
例2 求
1 1 x2 dx.
解
arctan
x
1
1 x2
11
( 1
x2
) dx x
arctan x ln x C .
16
例8
cos 2x
dx
cos 2 x sin2 x dx
cos x sin x
cos x sin x
(cos x sin x)dx sin x cos x C .
例9
1
sin2 x cos2 x dx
第五章
不定积分
1
第一节 不定积分的概念
不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.
一、原函数与不定积分的概念
定义 如果在某区间 I 内F ( x) f ( x) ,则称 I 内 F(x) 为 f (x)的一个原函数. 例 (sinx) cos x ，sin x是cos x的原函数.
( ？) 3x2 ，( x3 ) 3x2 ，( x3 1) 3x2 ， ( x3 C ) 3x2 ， .