b6线性规划的实际应用 (2)

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考

本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！

线性规划的实际应用

高二（8）班 赵铭

在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3

，第二种有56m 3

，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?

解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧≥≥≤+≤+0056

28.008.072

09.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时

z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨

⎧=+=+56

28.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).

答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的

5

1.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料

怎样混合,才使成本最低.

解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≥≤≤≥≥+0

5000005135000y

x x

y

y x ,而

z =0.28x +0.9y

如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的

交点)3

17500,3

87500(

A ,即3

87500=

x ,3

17500=

y 时,饲料费用最低.

所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一

.

(例3图) (例4图)

例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:

营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?

解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为

⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩

⎨

⎧≥-≥422

y x y

作出可行域如上图中阴影部分

目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58

答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.

指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩

⎨⎧≥-≥422

y x y 得

z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,

当且仅当y =2,x =3时取等号 总结：

(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;

(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小). 2.线性规划问题的一般数学模型是:

已知⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧≤+++≤+++≤+++n m nm n n m m m m b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221

12

22221211

1212111

(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)

其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m

的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.

(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.