完全平方数

完全平方数知识点

(一)完全平方数的性质

一个正整数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,......

通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性

质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个"0"的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k 或8k+4型。

性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型。

性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。

性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。

性质11： a^2b 为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数。

性质12：如果质数p 能整除a ，但p^2不能整除a ，则a 不是完全平方数。

性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2

性质14：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因子(包括1和n 本身)。

性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

性质16：若质数p 整除完全平方数a ，则p^2|a 。

二)与上述性质相对应的几个结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3k+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4k+2和4k+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5k±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6,8k+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

（五）拓展

与完全平方数的末几位数有关的数字问题：

1、完全平方数的末两位数字只能是00；01，21，41，61，81；04，24，44，64，84； 25；16，36，56，76，96；09，29，49，69，89共22种可能

2、如果把某个自然数任意计算它的N 次方后，得到的各种结果的末A 位数与原自然数的末A 位数相同，我们就称这个自然数为"永恒数"，

例如：一位自然数的永恒数有1，5，6三个； 两位的永恒数一个是25， 另一个是101-25=76；

三位的永恒数是25的平方625，还有一个是1001-625=376；

四位的永恒数是625的平方90625的末四位：0625，与10001-0625=9376，由于的首位是0，实际只有一个9376， 五位的永

恒数是90625与100001-9

0625=09376，实际只有一个90625，9376的平方87909376的末五位数是09376，用100001-09376=90625，