2.1 线性动态系统及控制系统数学模型
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•拉氏变换的微分性质
L[ f ( k ) ] s k F ( s) [ s k 1 f (0) s k 2 f (0) s k 3 f (0) f ( k 1) (0)]
零初始条件下，
L[ak y ( k ) ] ak s kY (s)
•拉氏变换的平移定理
2 2
Y ( s) s 2 X ( s) s cs k
2
•方法二：依据微分方程组代入消元求传递函数
qr
解题过程：
(t ) qr (t ) q0 (t ) c1h 1 h1(t ) h2 (t ) q0 (t ) R1 c 2h2 (t ) q0 (t ) q c (t ) qc (t ) h2 (t ) R2
h1
R1 q0
h2
R2
qc
Qr (s ) Q 0 (s ) c1s H 1(s ) Q (s ) H1(s ) H2 (s ) 0 R1 Q 0 (s ) Q c (s ) c 2 s H2 (s ) H2 (s ) Q c (s ) 负载效应 R2
消去中间变量i(t)，可得
d 2 uc duc LC 2 RC uc ui dt dt
令
TL L / R, TC RC 则数学模型变为
d uc duc TLTC TC u c ui 2 dt dt
2
2018/9/2
9
机械系统数学模型的建立
【例2-2】试求图示弹簧-质量-阻尼 器组成的机械位移系统的微分方程。 设F为输入量，位移y为输出量。 解
m m 1
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) * K a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
j
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
z2
2018/9/2
z1
0
23
2018/9/2
24
【 例 2-l】 试 列 写 如 图 示 R 、 L 、 C 串联电路的 微分方程。ui(t)为输入 量,uc(t)为输出量。 解 设回路电流为i (t)（中间变量）,如各元件均为线 性元件，根据基尔霍夫定律，有
2018/9/2
di Ri L uc ui dt du c iC dt
8
电气网络数学模型的建立
f (t ) L1[ F (s)] ，称f(t) 为F(s)的拉氏逆变换（象原函数）
•拉氏变换的线性性质
α、β为常数， F1 ( s) L[ f1 (t )], F2 ( s) L[ f 2 (t )]
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s) L1[ F1 ( s) F2 ( s)] f1 (t ) f 2 (t )
2018/9/2 2
动态系统的线性
线性动态系统是动态系统中最重要的一类，原因在于 线性动态系统存在解析解法，绝大多数实际工程技术 问题都可以线性化或近似线性化。 线性系统与非线性系统在数学模型上的根本区别在于， 线性系统的输入与输出关系满足叠加原理。 叠加原理的两个重要性质：可加性与齐次性。 可加性与齐次性的理解，是重点。二者的数学表达式和 推导过程是考试重点。（P15）
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的
固有特性，与输入信号类型及大小无关。
2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系 统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间 对应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数；
6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
传递函数的求取方法及应用举例
•方法一：依据系统微分方程确定输入/输出间的传递函数
线性定常系统的线性微分方程描述：
y cy ky x
零初始条件下，两边取Laplace变换
s X (s) s Y (s) csY (s) kY (s)
定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。
Y (s) bm s m bm1s m1 ...... b1s b0 G( s) X (s) an s n an1s n1 ...... a1s a0
传递函数的特征及性质
令X(s)= L[x(t)]，Y(s)=L[y(t)]。零初始条件下，对上式左右两边求拉氏变
换，得s的代数方程：
(an s n an1s n1 ...... a1s a0 )Y ( s) (bm s m bm1s m1 ...... b1s b0 ) X ( s)
2018/9/2
3
控制系统的数学模型
为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定 量的计算，首先要建立系统的数学模型。 数学模型
时域模型 频域模型 状态空间 模型 方框图和 信号流图
建立控制系统数学模型的方法：
•实验法 •解析法
2018/9/2 4
控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的
求传递函数。
1 1 1 s s 1 s 2 1 r(t ) R (s ) s 2 s 2 s 2 C (s ) G (s ) G(s ) R (s ) s2 3 s 2 c (t ) C (s )
传递函数的零极点
Y ( s ) b0 s b1s bm 1s bm G (s) R ( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
•方法三:利用复阻抗的直接求取传递函数(例2)
解题过程：
1 R2 U2 (s ) R2 1 c s G(s ) (1 ) U1(s ) R1 R1 R 2c s
要点：复阻抗概念和分压定理
•方法四：依据系统的输入输出信号求传递函数
系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为：
c( t ) 1 e t e 2 t
机械位移模型
2
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
传递函数
传递函数是经典控制理论中最常用和最重要的 数学模型。经典控制理论的主要研究方法------频率 法和根轨迹法都是建立在传递函数基础上。 利用传递函数可以不必求解系统的微分方程， 就可以研究初始条件为零（零状态）的系统在输入 信号作用下的动态过程。 利用传递函数研究系统参数变化或结构变化对 动态过程的影响，可使系统分析大大简化。还可将 对系统性能指标的要求转化为对系统传递函数的要 求，使系统设计与综合问题易于实现。
t s 0
f () lim sF ( s )
s 0
•基本函数及其拉氏变换
传递函数
定义及表示形式
设SISO线性定常系统，可用n阶线性微分方程描述：
an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) ...... a1 y(t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) ...... b1 x(t ) b0 x(t )
第二章 线性动态系统及控制 系统数学模型
2018/9/2
1
动态系统
我们所研究的系统，通常以时间t为自变量，按照 输入与输出关系上的某些特点，可以把系统分为静 态系统和动态系统两大类。在任一时刻t，系统的 输出取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系 统。也称为无记忆系统。
在任一时刻，系统的输出不仅与该时刻的输入有关 ，而且与该时刻以前的输入都有关系，这类系统称 为动态系统，有记忆系统。含有储能元件的系统均 为动态系统，如电路中的电感，磁场能量；电容， 电场能量。机械运动中物体的动能和势能，以及弹 簧（弹性势能）等元件。
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2 d y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
2018/9/2 10
2
•相似系统
无源电网络模型
d uc duc LC 2 RC uc ui dt dt
2018/9/2 12
•附：拉氏变换定义
设函数f(t)当t>=0时有定义，且积分
0
f (t )e st dt
在s的某一域内收敛，则此积分可以写成
F ( s)
0
f (t )est dt
称上式为f(t)的Laplace变换式。 记 记
F (s) L[ f (t )]
，称F(s)为f(t)的拉氏变换（象函数）
个数；
2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微
分方程的形式则不同；
3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的
理论依据(相似系统)。
实验法建立数学模型的步骤
输入（已知）
输出（已知） 黑匣子
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较， 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
H2 (s ) R2 G (s ) Qr (s ) R1R 2C1C2s 2 (R1C1 R 2C2 R 2C1)s 1
•方法三:电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数(例1)
L
ur u1
R2
R1
C
uc
解题过程：
_
_
_
1 1 ( R2 )/ / R 1 Uc ( s ) c s cs G( s ) Ur ( s ) ( R 1 ) / / R L s R 1 2 1 2 cs cs R1 2 ( R1 R 2 ) L C s ( R1R 2C L ) s R1
L[e
if
at
f (t )] F (s a)
•拉氏变换的初值定理
lim sF ( s)存在
s t 0 s
lim f (t ) lim sF (பைடு நூலகம்s)
•拉氏变换的终值定理
或
f (0) lim sF ( s)
s
lim f (t ) lim sF ( s )
2018/9/2
6
解析法建立数学模型的步骤
建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛
顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅 在建立状态模型时要求），消去中间变量， 建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2018/9/2
7
电气网络数学模型的建立
L[ f ( k ) ] s k F ( s) [ s k 1 f (0) s k 2 f (0) s k 3 f (0) f ( k 1) (0)]
零初始条件下，
L[ak y ( k ) ] ak s kY (s)
•拉氏变换的平移定理
2 2
Y ( s) s 2 X ( s) s cs k
2
•方法二：依据微分方程组代入消元求传递函数
qr
解题过程：
(t ) qr (t ) q0 (t ) c1h 1 h1(t ) h2 (t ) q0 (t ) R1 c 2h2 (t ) q0 (t ) q c (t ) qc (t ) h2 (t ) R2
h1
R1 q0
h2
R2
qc
Qr (s ) Q 0 (s ) c1s H 1(s ) Q (s ) H1(s ) H2 (s ) 0 R1 Q 0 (s ) Q c (s ) c 2 s H2 (s ) H2 (s ) Q c (s ) 负载效应 R2
消去中间变量i(t)，可得
d 2 uc duc LC 2 RC uc ui dt dt
令
TL L / R, TC RC 则数学模型变为
d uc duc TLTC TC u c ui 2 dt dt
2
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机械系统数学模型的建立
【例2-2】试求图示弹簧-质量-阻尼 器组成的机械位移系统的微分方程。 设F为输入量，位移y为输出量。 解
m m 1
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) * K a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
j
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
z2
2018/9/2
z1
0
23
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【 例 2-l】 试 列 写 如 图 示 R 、 L 、 C 串联电路的 微分方程。ui(t)为输入 量,uc(t)为输出量。 解 设回路电流为i (t)（中间变量）,如各元件均为线 性元件，根据基尔霍夫定律，有
2018/9/2
di Ri L uc ui dt du c iC dt
8
电气网络数学模型的建立
f (t ) L1[ F (s)] ，称f(t) 为F(s)的拉氏逆变换（象原函数）
•拉氏变换的线性性质
α、β为常数， F1 ( s) L[ f1 (t )], F2 ( s) L[ f 2 (t )]
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s) L1[ F1 ( s) F2 ( s)] f1 (t ) f 2 (t )
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动态系统的线性
线性动态系统是动态系统中最重要的一类，原因在于 线性动态系统存在解析解法，绝大多数实际工程技术 问题都可以线性化或近似线性化。 线性系统与非线性系统在数学模型上的根本区别在于， 线性系统的输入与输出关系满足叠加原理。 叠加原理的两个重要性质：可加性与齐次性。 可加性与齐次性的理解，是重点。二者的数学表达式和 推导过程是考试重点。（P15）
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的
固有特性，与输入信号类型及大小无关。
2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系 统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间 对应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数；
6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
传递函数的求取方法及应用举例
•方法一：依据系统微分方程确定输入/输出间的传递函数
线性定常系统的线性微分方程描述：
y cy ky x
零初始条件下，两边取Laplace变换
s X (s) s Y (s) csY (s) kY (s)
定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。
Y (s) bm s m bm1s m1 ...... b1s b0 G( s) X (s) an s n an1s n1 ...... a1s a0
传递函数的特征及性质
令X(s)= L[x(t)]，Y(s)=L[y(t)]。零初始条件下，对上式左右两边求拉氏变
换，得s的代数方程：
(an s n an1s n1 ...... a1s a0 )Y ( s) (bm s m bm1s m1 ...... b1s b0 ) X ( s)
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控制系统的数学模型
为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定 量的计算，首先要建立系统的数学模型。 数学模型
时域模型 频域模型 状态空间 模型 方框图和 信号流图
建立控制系统数学模型的方法：
•实验法 •解析法
2018/9/2 4
控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的
求传递函数。
1 1 1 s s 1 s 2 1 r(t ) R (s ) s 2 s 2 s 2 C (s ) G (s ) G(s ) R (s ) s2 3 s 2 c (t ) C (s )
传递函数的零极点
Y ( s ) b0 s b1s bm 1s bm G (s) R ( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
•方法三:利用复阻抗的直接求取传递函数(例2)
解题过程：
1 R2 U2 (s ) R2 1 c s G(s ) (1 ) U1(s ) R1 R1 R 2c s
要点：复阻抗概念和分压定理
•方法四：依据系统的输入输出信号求传递函数
系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为：
c( t ) 1 e t e 2 t
机械位移模型
2
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
传递函数
传递函数是经典控制理论中最常用和最重要的 数学模型。经典控制理论的主要研究方法------频率 法和根轨迹法都是建立在传递函数基础上。 利用传递函数可以不必求解系统的微分方程， 就可以研究初始条件为零（零状态）的系统在输入 信号作用下的动态过程。 利用传递函数研究系统参数变化或结构变化对 动态过程的影响，可使系统分析大大简化。还可将 对系统性能指标的要求转化为对系统传递函数的要 求，使系统设计与综合问题易于实现。
t s 0
f () lim sF ( s )
s 0
•基本函数及其拉氏变换
传递函数
定义及表示形式
设SISO线性定常系统，可用n阶线性微分方程描述：
an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) ...... a1 y(t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) ...... b1 x(t ) b0 x(t )
第二章 线性动态系统及控制 系统数学模型
2018/9/2
1
动态系统
我们所研究的系统，通常以时间t为自变量，按照 输入与输出关系上的某些特点，可以把系统分为静 态系统和动态系统两大类。在任一时刻t，系统的 输出取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系 统。也称为无记忆系统。
在任一时刻，系统的输出不仅与该时刻的输入有关 ，而且与该时刻以前的输入都有关系，这类系统称 为动态系统，有记忆系统。含有储能元件的系统均 为动态系统，如电路中的电感，磁场能量；电容， 电场能量。机械运动中物体的动能和势能，以及弹 簧（弹性势能）等元件。
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) ky(t ) f m dt dt 2 d y (t ) dy(t ) m f ky(t ) F (t ) 2 dt dt
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2
•相似系统
无源电网络模型
d uc duc LC 2 RC uc ui dt dt
2018/9/2 12
•附：拉氏变换定义
设函数f(t)当t>=0时有定义，且积分
0
f (t )e st dt
在s的某一域内收敛，则此积分可以写成
F ( s)
0
f (t )est dt
称上式为f(t)的Laplace变换式。 记 记
F (s) L[ f (t )]
，称F(s)为f(t)的拉氏变换（象函数）
个数；
2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微
分方程的形式则不同；
3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的
理论依据(相似系统)。
实验法建立数学模型的步骤
输入（已知）
输出（已知） 黑匣子
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较， 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
H2 (s ) R2 G (s ) Qr (s ) R1R 2C1C2s 2 (R1C1 R 2C2 R 2C1)s 1
•方法三:电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数(例1)
L
ur u1
R2
R1
C
uc
解题过程：
_
_
_
1 1 ( R2 )/ / R 1 Uc ( s ) c s cs G( s ) Ur ( s ) ( R 1 ) / / R L s R 1 2 1 2 cs cs R1 2 ( R1 R 2 ) L C s ( R1R 2C L ) s R1
L[e
if
at
f (t )] F (s a)
•拉氏变换的初值定理
lim sF ( s)存在
s t 0 s
lim f (t ) lim sF (பைடு நூலகம்s)
•拉氏变换的终值定理
或
f (0) lim sF ( s)
s
lim f (t ) lim sF ( s )
2018/9/2
6
解析法建立数学模型的步骤
建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛
顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅 在建立状态模型时要求），消去中间变量， 建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
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电气网络数学模型的建立