水文水资源水环境分形混沌分析

一、分形理论
2 分形的描述
分形维数(分维)——fractal dimension 维数是几何图形的一个特征量。众所周知，点是零维的，直 线是一维的，平面是二维的。当测量直线段的长度时，若用单位 面积的正方形来测，那么测出的结果为零，说明所采用的尺度太 粗；类似地，当测量圆面的面积时，若用单位长度的线段来测， 那么测出的结果为无穷大，说明所采用的尺度太细。这也就是说， 在测量几何图形时，测量的结果与测量所采用的尺度有关。再如： 对于Koch曲线，如果用一维的尺度来测，其结果为无穷大，说 明所采用的尺度太细；而用二维的尺度来测，其结果为零，说明 采用的尺度太粗，那么肯定要用介于一维与二维之间的一个非整 数维数来测量它，才能定量地表现Koch曲线的性质。 对于别的分形图形也具有同样的情况，人们用非整数维即分 形维数来定量地刻画分形图形的复杂性。
1982年Mandelbrot第一次对分形给出了比较完整的定义： Hausdroff维数大于拓扑维数(图形中确定一点需要的坐标数) 的集合，称为分形。
1986年他又给出更通俗的定义：局部在某种条件或过程 中在某一方面（形态、结构、功能、信息、能量、时间）表 现出与整体的相似性。即整体与局部在形态、结构、功能、 信息、能量、时间方面具有自相似性。
英国的海岸线地图
一、分形理论
1 分形概念
曼德布罗特(Mandelbrot)独辟蹊径，在欧氏几何的0、1、2、 3维之外提出了一个初看令人难以置信的分数维的概念。它成为 一种新方法，可以度量舍此就无法定义的那些粗糙、破碎或不规 则的客体的性质。
1975年，曼德布罗特决定为自己正在研究的形体、维数和几 何学命名。他在冥思苦想之余偶翻儿子的拉丁文字典时，突然想 到的，由此杜撰了一个新词fractal。此词源于拉丁文形容词 fractus，对应拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎 片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及 fragment（“碎片”）具有相同的词根。取拉丁词之头，撷英文 之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。中文翻译为 分形或分数维。
1400
1
1000
0
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
年份
一、分形理论
分形一般有以下特质 i. 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有
精细的结构。 ii. 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某
些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 iii. 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或
者统计的自相似。 iv. 分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 v. 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方
法定义，可能以变换的迭代产生。
特征：①不规则的形状；②具有自相似性。
由于学科的交叉性，非线性科学和一些新理论如突变论、协 同论、耗散结构论有相通处，并从中吸取有用的概念理论。但非 线性现象很多，实证的非线性科学只考虑那些机制比较清楚，现 象可以观测、实验，且通常还有适当的数学描述和分析工具的研 究领域。随Hale Waihona Puke Baidu科学技术的发展，这个范围将不断扩大。
• 分形理论 • 分维 • 分形在水文水资源水环境中的应用 • 混沌分析 • 混沌性识别 • 混沌预测
Koch曲线
星云
天空中的云朵
植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤
视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
一、分形理论
3 哲学意义
1)部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随 机性等等，都是与分形理论密切相关的成对概念，分形与分维给它们注 入了新的内容，或是给出了新的理解；有规分形与无规分形、标度不变 与标度变换、时间分形与空间分形、时间分维与空间分维、信息分形与 功能分形、平庸吸引子与奇怪吸引子等等，它们是分形理论新提出的成 对概念。都从纵横两个方面拓展了对立统一的辩证关系。
分形分析方法
20世纪80年代以来，分形的新概念是全球科学家议 论最为热烈和兴奋的热门话题之一，并形成了分形理论 的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学 家(包括自然科学家和哲学社会科学家)，甚至还有各类 艺术家和电影制片工作者。这是因为，分形理论不仅具 有广泛的应用前景，而且蕴藏着非凡的科学意义和哲学 意义。
分形基本理论
分维
分形的应用
1967年，美国《科学》杂志上一篇论文终于 开始了数学家们正视“无限复杂性”的步伐。这 篇论文的题目是《英国的海岸线有多长》，论文 给出的答案是：取决于你的尺子。为什么？因为 当你用一把固定长度的直尺来测量时，对海岸线 上两点间的小于尺子长度的曲线，只能用直线来 近似。因此，测得的长度并不精确。类似的，用 更小的尺子来量度，我们还会发现，仍然有无数 更小的曲线只能近似无法测量。随着你不停地缩 短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得 的曲线长度也就越长。如果尺子小到无限，测得 的长度也可以是无限。如果问题仅止于此，那么 这篇论文不但没什么意义，而且还有点无聊了。
分形是一个几何概念，它由像云彩、海岸线、树枝、 闪电等不规整但具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形 抽象概括得出。按照这种理论例如可测出某一段海岸线 可能是 1.32维的分形。
混沌是一种由确定性规律支配却貌似无规的运动过 程。近几十年通过数值实验、物理观测和数学分析得到 确认并在自然和工程系统里找到许多有趣的例子。
一、分形理论
4) 时间分形 凡是在时间轴上具有自相似性的现象或研究对象，称为时 间分形。有人也把它称之为“一维时间分形”或“重演分形”、 “过程分形”。例如，人的受精卵在母腹中变成新生婴儿的过 程，在一定程度上近似于人类从水母、鱼类到猿猴、猿人，最 后成为今天的现代人这整个进化过程的再现、重复。生物个体 的出现是生物种系进化的缩影，他们在时间轴上具有自相似性。 德国科学家魏尔说过一段耐人寻味的话:“在一维时间中，等间 隔的重复是节律的音乐原则。当一棵苗生长时，人们可以说， 它把一种缓慢的时间节律翻译成了一种空间的节律。” 时间分形与在自然分形中谈到的几何分形(空间分形)是相 对应的。在地震研究中，相应地产生出时间分维和空间分维的 概念。
孤立波是在传播中形状不变的单波，有些孤立波在彼此碰撞 后仍能保持原形，带有粒子的性质，称为孤立子，它们在不少自 然现象和工程问题中遇到，如光导纤维通信技术的改进需要对光 学孤立子性质有进一步的了解。
上述3项内容在一个具体的非线性课题里又往往是联系着的。 如耗散系统的混沌过程往往可用相空间里一个分形描述。又如近 代前沿课题图型动力学里，某一系统的整体空间图型可能是分形， 而局部的时间动态又要用混沌过程刻画。再如在分岔理论里，要 考虑系统怎样由于其参量改变而导致性态发生定性的变化，它除 了引用传统的平衡、振动、稳定性等概念外，也考虑涉及混沌动 态和分形图型的分岔问题。
2)通常认为量变引起质变的形式基本上是两种，一种是由数量的增加 或减少引起的质变，一种是由构成事物的成分在排列次序上的变化引起的 质变。上述科契曲线的构造和形成告诉我们，事物形状的改变也可引起质 变。这里所说的形状的改变而引起的质变,不仅是指具体事物的不同形状所 引起的几何形体性质的不同(例如正方形有别于三角形)，而且是指某一形 体的边长经过重复变换，可以从有限变成无限，引起根本性质的改变。分 形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内 在的规律和特性：自相似性、层次性、递归性、仿射变换不变性。
弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面， 变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人 眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光 滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
实例
径流量(108m3) 输沙量(108t)
3000
6
2600
径流量 输沙量
5
4 2200
3
1800 2
一、分形理论
2) 社会分形 凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相 似性现象，称为社会分形。这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研 究对象的所有社会科学部门。不论是使人明鉴的史学，还是促人灵秀 的诗歌；不论是教人聪慧的哲学，还是令人善辩的辞学，都存在着或 在某一时期某一范围存在着自相似性的现象。如果加以深入研究，还 可以详细分化并具体形成史学分形、语言分形、文艺分形、美学分形、 社会结构分形、经济分形、管理分形等等众多的分支学科。社会分形 表征了社会生活和社会现象中一些不规则的非线性特征，有着广泛的 应用价值。
3) 由于世界的本质是非线性的，而分形是非线性特征的几何表现，因 此分形性是自然界的一种基本属性。
一、分形理论
4 分形的分类
1) 自然分形 凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几 何形体(对象)，都称为自然分形。如海岸线、云彩、闪电、地震等。由此 还可以从中再细分出几何分形、功能分形、信息分形、能量分形等。在 形态和结构上存在着自相似性的几何形体，就是几何分形。诸如线状分 形(科契曲线)、表面分形(谢宾斯基地毯)、体积分形(谢宾斯基海绵) 。 在功能上存在着自相似性的几何形体，就是功能分形。在信息上存 在着自相似性的几何形体，就是信息分形。一个胡萝卜的根细胞可以培 养成一棵完整的胡萝卜植株，健康人的一个受精卵可以在母体中发育成 一个人,这些都是人们熟知的事实。从信息上看，细胞就是一个分形体， 它包含着整体的全部信息。从功能和信息上看，中医讲的穴位群，就是 人体的缩影。所以，生物形体和人体病理，无不显示出分形现象，并由 此产生了分形生物学的新学科。在能量传播上存在着自相似性的体系， 就是能量分形。这种分形主要表现在地震时地震波的传播，无线电通讯 中电波的传播。
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.
一、分形理论
这样，一门新的学科——分形几何科学，就宣告正式诞 生。自此以后，“分形”一词成为一种新方法，可以用于描 绘、计算和思考那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、 支离破碎的图形。
一、分形理论
5 分形理论的形成
分形学发展史上的重要里程碑
1872年 Cantor集合被创造; 1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点 点不可微” ; 1906年 Koch曲线被创造; 1914年 Sierpinski三角形被创造;
1919年 描述复杂几何体的Hausdorff维问世; 1951年 英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律; 1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线 有多长》; 1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词;
3) 思维分形 思维分形是指人类在认识、意识活动的过程中或结果上所表现出 来的自相似性特征。这包括两方面的情况：其一，作为思维形式之一 的概念，它是逻辑思维最基本的分形元，反映了人们对事物整体本质 的认识。认识是人对客观世界的反映，这种反映通过一系列的抽象， 以概念的形式近似地描绘发展变化的客观现实。其二，每个个人的思 维都在某种程度上反映了人类整体的思维。
第六讲 分形、混沌分析法 及其在水文水资源水环境中的应用
自然界是复杂而美丽的。传统的方法是把复杂问题 简化为线性问题来研究。20世纪50~60年代以来，情况 发生了变化。非线性及相应的复杂性研究成为热点，其 中分形、混沌和孤子(solition，又称孤波)构成了非线性 科学的主要内容，被誉为非线性科学研究的前沿。
但是，作者发现：海岸线的长度有着极有规律之处。那就是：海岸线 长度的某次幂与尺子长度成正比。这里意味着海岸线中蕴藏着无限自相似 性。就是说：任意一段海岸线就像是整个海岸线按比例缩小的结果，遵循 相似的规律。
此文的作者就是曼德布罗特(Mandelbrot)。从此他提出了一个初看令 人难以置信的分数维的概念。
1977年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals: forme, hasard et dimension》;