可靠性试验分析和设计3

第四章（43）可靠性试验分析与设计

三、图估计法

参数统计推断方法大致可分两类，数值分析法和图分析法。图分析法是使用各种座标纸进行分析，这种方法使用方便，直观易懂，容易掌握。它可以起到数值分析起不到的作用。

将多种观测的试验数据按照某种理论分布画在在相应的概率纸上，设法拟合一条直线，只要读取这条直线的斜率和截距，就能掌握有关规定分布特征的参数方面的信息。各种分布函数在直角坐标系中是曲线，经坐标变换后，在新坐标下是直线，利用新坐标的变换尺度制成的专用纸，称为概率纸。

这种直接在概率纸上求得参数估计值的方法，称为图估法。

1. 分布类型的检验

图估法的优点是可用肉眼判断直线的拟合程度，但在使用初期，有时对与直线拟合的程度似乎信心不足。此外即使有一些使用图估的经验，在画的点与直线有比较大的偏移时，也需要有一定的根据来评价拟合程度的好坏。

这种情况下，统计检验法是有用的，如果选择一个合适的置信系数，则可以作出客观的符合常识的判断。下面介绍几种常用的检验方法。

（1）.拟合优度检验

当不知道产品的寿命分布类型时，首先按子样的试验数据作出分布检验，然后再作参数估计。分布检验的过程：试验数据――统计推断――产品的寿命分布。

推断依据，要进行拟合优度检验。拟合优度检验指的是，观察值分布与先验的或拟合观察值的理论分布之间的符合程度的度量。

从总体中抽取一个子样，所得经验分布与总体或多或少存在差异，差异可能来自：

a). 假设分布不正确，不是总体分布，偏差较大；

b) .假设分布与总体符合，但子样的随机性引起了偏差，但这个偏差比a）要小得多。

对上述情况需要确定一个偏差的界限。若子样偏差小于此界限，就认为二者符合。若子样本算出的偏差大于界限值，即不能认为经验分布与总体偏差符合。基于这个思想，设样本偏差为d，另外假设偏差为D(是随机变量)，可以研究这个D的分布，再由D分布计算

选择一个界限为d，则判别式：

()

P D

d

为置信水平，可取0.05,0.1等。

若

D d ，偏差大于临界范围，发生了小概率事件，应该怀疑原假设。判断选择的

分布与总体之间差异较大，这种选择应予以拒绝。所以当子样偏差d 大于 d α，则拒绝原假设，否则接受。

由此，拟合优度检验的步骤如下：

(1).根据假设0H ,引进合适的统计量； (2).确定统计量的精确分布或渐近分布； (3).由样本值算出统计量的计算值； (4).定适当的显著水平； (5).假设的拒绝与接受；

由样本计算的统计量,其判别式表示为 ()p d d αα≥=

当样本计算的统计量在拒绝域范围内或超过临界点的值,则拒绝假设,否则接受假设. 在实际工作中，对于分布的拟合优度检验往往采用最直观的作图法，即，将统计到的经验分布函数，在假设分布的概率纸上描点，若连线为直线趋势，则认为所抽样本服从假设分布，但由于作图连线因人而异，判断往往不太准确，因此也经常用解析检验方法作校核。 (2).皮尔逊2

χ检验法

为了验证统计得到的经验分布()n F t 和理论分布()F t 是否一致，将观测值进行分组，选用统计量2q χ 作为经验分布和假设的理论分布之间的差异度，用下式表示：

2

2

1()m

i i q

i i

m nX nX χ=-=∑ （※） 式中，m 为分组数; i m 为落入第i 组的频数；n 为样本容量；i X 为按假设的理论分布计算得到的落入第i 组的概率；i nX 为第i 组的理论频数。

可以证明当n 足够大时,所设的经验分布与理论分布差异的统计量2

q χ的渐进分布服从自由度为k=m-1的2

χ分布。当所假设的理论分布的参数是用统计得到的样本估计出来时，自由度

k=m-r-1

式中r 为所估计的总体分布参数的个数。

2

χ检验的计算步骤如下：

（1）要求所取的样本数n≧50,落入每组的频数

i

m≧5，若某组的

i

m太小，可合并，减少组数；

（2）将数据分组，统计各组频数，根据分布情况，建立原假设

H:()()

n

F t F t

=; （3）给出显著水平α；

（4）按公式

11

()()()

i i i i i

X F t F t P t T t

--

=-=≤≤,计算落入任一区间的理论概率；

（5）按（※）式计算统计量；

（6）根据自由度k和显著水平α查2χ分布表，得到2()k

α

χ值；

（7）作出原假设接受与否的结论。

例: 用2

χ检验判断某机主油泵的故障分布假设为指数分布是否正确，共统计了81台该泵的故障时间，如下表所示，设显著水平为0.05

α=。

解：主油泵的平均故障间隔时间：

81

1197()

81

i

i

t

MTBF h

=

==

∑

建立原假设

H：油泵故障为指数分布，可靠度函数：

197

()

t

R t e

=

计算结果见下表：

2

2

1

()10.46m

i i q

i i m nX nX χ=-==∑

k=m-r-1 =8-1-1=6

查表得：

22

0.05,6()12.59k αχχ==

22

0.05,612.59q

χχ=> 结论：接受原假设，油泵故障分布为指数分布，2

χ检验是用分区间来考虑经验分布和

总体分布之间的差异。

在现场的使用汇总，得到的数据都是具有随机截尾的特性，且样本量都较大。在目前

尚未有较合适的方法对这类数据分布拟合优度进行检验的情况下，可试用2

χ检验。 前面讲过每一个时间区段（或划分的每一组）内样品的故障概率为i X ，对于完全样本：

i n X 为每一区段的故障数：但对于不完全样本中随机截尾的情况，样品每一区段的i X 应以

下式来计算：

1()

1()

i i i R t R t -X =-

此时，每一区段的故障数为1i i n -X ，其中1i n -为每一区段开始时的残存样品数。

由于2

χ检验是一种近似方法，所以样本容量n 必须足够大才行。然而，可靠性实验中数据量一般比较小，安全地满足近似条件有困难，所以在使用中注意到，降低条件后检验精度要大幅度降低。样本容量小于30时，下面的K-S 检验方法是有效的。

（3）柯尔莫哥洛夫－斯米尔诺夫（K-S ）检验法

a). 用于完全样本的K-S 检验

作原假设0H ：经验分布等于理论分布，即()()n F t F t =。将()n F t 与()F t 的最大偏差

n D 作为理论分布与经验分布的差异度，K-S 方法认为样本小，累积分布折线上的点不会偏

离母体累积分布函数太远，于是提出假设检验的统计量为

1sup ()()max n n i i n

t D F t F t δ≤≤-∞∠∠∞

=-=

由于()()n F t F t 和都是t 的单调函数，所以偏差()()n F t F t -的上确界可在n 个点i t 处