大学物理：第11章-相对论4-相对论动力学

因此，质速公式，mu =
m0 是严格的。 1 u2 / c2
2. 质量: m
质速关系
m(v)
m m0 1 v2 /c2
m0
v/c
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m0 静止质量,
v — 物体相对观察者运动速度 m — 与物体相对运动的观察者测得的质量
讨论
m m0 1 v2 /c2
1) v<<c时 1 v2 / c2 1 m m0 符合经典结论
Ek mc 2 m0c2
若电子速度为
v
4 c ，则相对论动能
5
EK
m0c 2 (
1
1
v c
2 2
1)
2 3
m0c 2
速度和动能的关系： 动能无限增大，但速度 有极限，c
洛伦兹速度：
v2
c 2 [1
(1
Ek m0c2
F
m0
dv dt
m0
m0a
const .
a
F
/
m
方程虽保持了原牛顿定律的框架但内容却有别
力的作用
F长时间 作用
经典力学
产生 a 改变速度
的大小、方向
v
力的方向
取决于 F
m
dv
dt
相对论力学
改变速度 改变质量
v m , v c
m
取决于 F m
dv
v
dm
dt dt
合矢量方向
水平方向：粒子1静止，粒子2运动，速度为 u
球1：在S系的速度
v1 vx1
合速度
v
'1
=
1
vx1 vx1 vx12 / c2
0
球2：在S系的速度
v2
vx1
合速度
v
'2
=
vx1 1 vx12
vx1 / c2
u
水平动量各自守恒（不受力） 水平速度保持不变
垂直方向：
球1：在S系的速度 v1 vy1
质速关系： m
m0
1 v2 / c2
m2c2 m2v2 m02c2
d m2c2 d m2v2
两边微分：
dt
dt
d mc2
d mv
2m
2mv
dt
dt
d mc2 d mv
v
dt
dt
能量守恒，能量=做功， dE F v F dr
dt
dt
能量守恒
质速方程 ======= 质能方程！
质速方程，m2c2 m2v2 m02c2 两边求导 d (m2c2 ) d (m2v2 ) 2mc2dm v2 2mdm 2m2v dv,
dE c2dm v vdm mv dv
dE dEk
mc2 m0c2 Ek , E E0 Ek
相对论动能形式与牛顿力学动能形式完全不同。
二、相对论中的能量
1. 质能相当
质速关系， m
m0
1 v2 /c2
低速情况，
m
m0
1+
1 2
v2
/c2
...
即，mc2
m0c2 +
1 2
m0v2
...
mc
2
=
1 2
m0v2
动能贡献质量，质能相当
静止质量 = 静止能量，总质量 = 总能量！
总能量 = 静止能量 + 普通动能 + …… ？
猜测 E mc2 ！理由呢？
dp dt
dmvv dt
mv
dv dt
dmv dt
v
质量改变，如何改变？
dmv ? Ek (v) ? 基本法则：洛伦兹协变性，
dv
向下兼容
(1). 在洛仑兹变换下具有不变性——各种物理规律包 括动量守恒,能量守恒,功和能量的关系，在不同惯 性系中具有相同的形式
(2). 满足渐进性要求——v c 牛顿定律
垂直速度： vy vy1 vy2 在水平静止的坐标系中，球1的垂直速度，设为 w
在以速度u水平运动的坐标系中，球2的垂直速度，w 1 u2 / c2
无水平速度的垂直速度合成，只考虑时间延缓
有水平速度的垂直速度合成，
v'y
vy 1 u2 / c2 1 uvx / c2
垂直动量守恒：球1的变化 = 球2的变化
2) v=c 时:
如：m0 0 则: m 无意义(不存在) 如: m0 0 则: m=0/0（m可能有确定的值）
光子 (m0 0) 就符合这种情况
3) 相对论动力学基本方程
F
m
F dP d(mv) m dv v dm
dt dt
dt dt
其中 m
m0
1 v2 / c2
v c时m
斯坦福加速器全貌 斯坦福加速器内貌
依经典理论电子速达到 v 8.61010 m / s c 而实测值为 v 0.999,999,9997c c
电子很难被加速，说明质量增大了！电子质量在变！
Fra Baidu bibliotek
1901年考夫曼发现从放射性镭中放出来的高速
电子( 射线), 质量随速度变化而变化。
牛顿定律必须改写！
从动量守恒导出质速关系 1. 动量: p mvv
两个以相等的速率，相向运动的全同粒子发生的弹性碰撞
从向右行驶的汽车(a)和向左行驶的汽车(b)上看
水平动量各自守恒，水平速度保持不变: 垂直动量各自改变，但合动量守恒 无论视角如何（在谁看来），上述结论均成立！
从向右行驶的汽车上看（碰撞过程）：
S系，碰撞系；S’系，汽车。S’相对于S速度， vx1
相对论动力学
一、相对论中的动量、质量
用一恒力加速一个粒子,依牛顿定律其加速度恒定
F a F/m
m
v at 当t 则v
即按牛顿定律粒子速度可以超过光速。
？？？
人们曾在美国斯坦福直线加速器中加速电子， 加速器全长2英里，每米加以七百万伏
7 106V 7 106V 7 106V 7 106V
2. 相对论的动能
总能量 = 静止能量 + 普通动能 + … ？
能量守恒：动能增量 = 外力做功
F
v
F
初态: m0,t 0, v0 0, Ek 0 末态: v, m, Ek ?
x
dEk dt
F dr dt
dP dr dt dt
dEk
v d mv
Ek (m m0 )c2
dEk v d (mv) mv dv v vdm
垂直动量守恒：球1的变化 = 球2的变化
p1 2mww p2 2mvw 1 u2 / c2
得出，mw /mv = 1 u2 / c2 当w 0，v u,得到，mu =
m0 1u2 / c2
质速关系
对任意的w, v2 u2 w2 (1 u2 / c2 ),
质量公式，mw /mv = 1 u2 / c2仍然成立。
S系
S’系速度
v
'1
=
w
vy1 1 vx21 / c2 1 vx12 / c2
球2：在S系的速度 v2 vy1
S’系速度
v '2
vy1 1 vx21 / c2 1 vx12 / c2
u vx1 vx1 1 vx12 / c2
v
'2
/v
'1
c2 c2
vx21 vx21
=
1u2 / c2
S’系
等价于：