自动控制原理 第六章 控制系统的校正(2011-2超前)

L(ω) db
40
-20dB/dec
20
0
-20
0 .1
1 2
ωc•
10
-40dB/dec
100
ω
ωc
2 2 ∴ ωc = 2K = 40 ≈ 6.32(rad/s)
= 20lg
ωc2
3 根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角
ϕ = γ * − γ q + ε = 50° − 18° + 5° = 37°
4
R 2 (1 + R1Cs ) /( R1 + R 2 ) Gc ( s ) = ( R1 + R 2 + R1 R 2 Cs ) /( R1 + R 2 )
T= R1 R2C R1 + R2
ur
R1
时间常数 分度系数
C
R2
uc
R1 + R2 a= R2 aT = R1C
1 1 + aTs Gc ( s ) = ⋅ a 1 + Ts
为了补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的 相角滞后量。 在截止频率处的斜率为-40dB/dec，一般取ε = 5°~10° 在截止频率处的斜率为-60dB/dec，一般取ε = 15°~20°
□确定参数 α 由于要求 γ ≥ 50 , 所以超前网络的最大领先相角为:
ϕ m ≈ 50 − 18 + 5 = 37 α −1 sin ϕ m = = sin 37 ≈ 0.602 α +1 α = 4.025
-40dB/dec
100
ω
γ q = 18°
6.17 * γ q = 180 − 90 − tg = 18 < γ = 50 2
-1
*也可用渐进特性计算
20 20 ⎧ = ⎪ ωc 0 ⎪ ωc 1 + ( ) 2 ⎪ 2 ⎨ 20 20 ⎪ = ⎪ ωc 2 ω ( ωc ) c ⎪ ωc 0 + ( ) 2 2 ⎩
在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超 前，超前网络的名称由此而得。
9
20
10
5
0 -2 10
1 10 aT
20
dB /d ec
15
-1
10
0
1 T
10
1
60 50 40 30 20 10 0 -2 10
-1 0 1
10
10
10
超前网络的频率特性
10
频率特性的分析——超前角 (a − 1)T ω ϕc (ω ) = arctgaT ω − arctgT ω = arctg 1 + a (T ω ) 2
L(ω)
T = 1
α ωm
=
1 ≈ 0.056 4.025 × 8.92
原系统幅频特性上-6.05dB处的频率可如下计算: 利用渐进特性计算:
− 6.05 − 1 6.05 ∵ = − 40 ∴ ω = 6.3 lg ≈ 8.92(rad/s) lg ω − lg ω 40
L(ω ) db
40
-20dB/dec
1 + (aT ω ) 2 L(ω ) = 20 lg 1 + (aT ω ) − 20 lg 1 + (T ω ) = 20 lg 1 + (T ω ) 2
2 2
ω →∞
L(ω ) = 20 lg a
(2)最大超前处的幅值
1+ (aTωm )2 Lc (ωm ) = 20lg 1+ (aTωm )2 − 20lg 1+ (Tωm )2 = 20lg 1+ (Tωm )2 1 Tω = a
U c (s) R2 R2 = Gc (s) = = 1 R1 U r (s) R2 + R2 + 1 1 + sR1C + sC R1 R2 (1 + R1Cs ) = R2 + R1 + R1 R2Cs R2 (1 + R1Cs) /( R1 + R2 ) = ( R1 + R2 + R1 R2Cs) /( R1 + R2 )
ϕc (ω ) = arctgaT ω − arctgT ω
1 转折频率：ω1 = aT 1 ω2 = T
8
20
15
10
5
0 -2 10
10
-1
10
0
10
1
60 50 40 30 20 10 0 -2 10
-1 0 1
10
10
10
对数频率特性如图所示。显然，超前网络对频率 在
1 1 至 aT T
之间的输入信号有明显的微分作用。
□确定参数 T 由于希望ϕm 对应的 ω m 就是校正后系统的幅值穿越频率。 据此计算 ω m 进而计算T。
ωm =
1
αT
处的近似对数幅值为10lg α = 10lg 4.025 ≈ 6.05dB
而在系统原幅频特性上-6dB处的频率可如下计算:
− 6.05 6.05 = − 40 ∴ ω = 6.3 lg −1 ≈ 8.92 lg ω − lg ω C 40 ω 校正后系统的幅值穿越频率： ch = ω m = 8.92(rad/s) ∵
第六章 控制系统的校正 ________________________________________________________ (2)
1
第六章 控制系统的校正
________________________________________________________
6.2 串联校正
1、超前校正 2、滞后校正 3、滞后超前校正
j
R1 + R2 >1 由于 a = R2
1 1 − − T αT
×
0
◇超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之 间的距离由常数
a 决定。
◇改变 a 和T(即电路的参数 R1 , R2 , C )的数值， 超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。
7
3频率特性
1 + aTs aGc ( s ) = 1 + Ts Lc (ω ) = 20 lg α Gc ( jω ) = 20 lg 1 + (aT ω ) 2 − 20 lg 1 + (T ω ) 2
°
ϕ 当α大于20以后， m的变化很小，α一般取1∼20之间。
18
2 串联超前校正
基本思路：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形 状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：
低频段的增益满足稳态精度的要求； 中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这 一要求是为了系统具有满意的动态性能； 高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。
5
①采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环 增益要下降α 倍。需要提高放大器增益加以补偿
R1 ur
C
R2
a
〉
uc
Gc ( s ) =
1 1 + aTs a 1 + Ts
带有附加放大器的无源超前校正网络
此时的传递函数
1 + aTs G ( s ) = aGc ( s ) = 1 + Ts
6
2 超前网络的零极点分布
16
70
14
ϕm
o
60
ϕm
12
50
来自百度文库
10
40
8
10 lg a
10 lg a
30 6
20
4
10
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20
α
最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线
17
dB
ϕm = arcsin
a −1 a +1
a=
1 + sin ϕ m 1- sin ϕ m
α值越大，则超前网络的微分效应越强。
ϕ ( jω ) = −90° − arctg
ω
2
2绘制未校正系统的伯特图，如图中的蓝线所示。由该图可知未 校正系统的相位裕量为 γ = 17° *也可计算
L(ω) db
40
-20dB/dec
20
2 ωcq = 6.17(rad/s)
ωc 1 + (
ωc
=1 )
2
20
0
-20
01 .
1 2
ωc•
10
L(ω) db
40
-20dB/dec
20
20
0
-20
ωc 1 + (
ωc
2
01 .
1 2
ωc•
10
)2
-40dB/dec
100
ω
20
2 ωc = 40 = 6.32 6.32 γ q = 180 − 90 − tg = 17 < γ * = 50 2 γ q = 17°
-1
ωc (
ωc
=1 )
方法2： ⎧ 0 − L(2) ⎪ lg ω − lg 2 = -40 ⎪ c ∵⎨ ⎪ L(2) − L(1) = -20 ⎪ lg 2 − lg1 ⎩ ∴ 20lg K = lg 2 + 40lg
2 2 m
Lc (ωm ) = 20lg a = 10lg a
14
20
15
a = 10, T = 1 10
5
2
10
-1
dB 0
ec /d
10 lg a
10
0
20 lg a
0 -2 10
10
1
60 50 40 30 20 10 0 -2 10
-1
a −1 ϕm = arcsin a +1
10
1 ωm = T a aT
超前校正的基本原理
基本原理: ◇超前网络的特性是相角超前，幅值增加。 ◇串联超前校正的实质是将超前网络的最大超前角补在 校正后系统开环频率特性的截止频率处，提高校正后系 统的相角裕度和截止频率，从而改善系统的动态性能。
-20d B
/dec
c de B/ d 20
-4
0d B/ de c
- 60 d
20
0
-2 0
0 .1
1 2
ωc•
10
-40dB /dec
100
ω
精确特性计算截止频率
40 G( jω ) = jω ( jω + 2) 20 G( jω ) = ω jω ( j + 1) 2 20lg 20 − 20lg ω − 20lg 1 +
ω2
4
= −6.2
ω = 8.92(rad/s)
1
10
0
10
1
1 T
15
超前网络频率特性
频率特性的分析
最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线
a −1 a −1 ϕm = arctg = arcsin a +1 2 a
a ↑→ ϕ m ↑
α不能取得太大(为了保证较高的信噪比),α一般不超过 20。这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大 于 65°；如果需要大于 的相位超前角，则要在两个超 65° 前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一 隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。
超前校正的基本原理
c B/de
-20d
B/de
c
-40
dB /de c
d -60 e B/d c
增大开环增益
超前校正
例：单位反馈系统的开环传递函数为
G (s) = 4K s ( s + 2)
试设计以超前校正装置，使校正后系统满足 （1）静态速度误差系数K v = 20s -1 （2）相位裕度 γ ≥ 50° （3）增益裕量不小于10dB。 R(s)
20lg 20 − 20lg ω − 20lg 1 +
ω2
4
= 26.02 − 19.0 − 13.12 = −6.1
α = 4.025
T = 0.056 校正装置传递函数： α T + 1 0.2254 s + 1 Gc ( s ) = = T +1 0.056 s + 1
校正后系统的开环对数幅频特性曲线见下图:
ωm =
1
最大超前角频率 最大超前角
1 T
ϕ m 正好处于频率
1 1 ∵ 与 aT T
1 aT
与
的几何中心
的几何中心为
1 1 1 1 1 1 2 (lg + lg ) = lg 2 = lg ωm = lg ωm T 2 aT 2 aT 2
即几何中心为 ωm
12
20
15
a = 10, T = 1 10
2
超前校正
1.无源超前校正网络
◇通常控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要 求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其 动态性能一般也不理想。 ◇在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足 设计的要求，需在系统前向通路中增加超前校正装置。
3
无源超前校正网络：
ur
R1
C
R2
uc
假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计,输出负载的阻抗为 无穷大，则其传递函数为：
ωm =
1 T a
最大超前角频率
a −1 a −1 最大超前角 = arcsin ϕm = arctg a +1 2 a
a +1 a −1
2 a
Im
a −1 2
1 + sin ϕm a= 1 − sin ϕm
0
ω =0
1
ϕm
ω=∞
a +1 2
a
Re
11
频率特性的分析----- 最大超前角的位置
T a a −1 a −1 = arcsin ϕm = arctg a +1 2 a
5
2
1 aT
10
-1
dB 0
ec /d
10
0
0 -2 10
60 50 40 30 20 10 0 -2 10
1 T
10
1
ϕm
10
-1
10
0
10
1
ωm =
1 T a
ϕm = arctg
a −1 a −1 = arcsin a +1 2 a
13
超前网络的最大超前角
频率特性的分析-----幅值分析 (1)静态幅值
G c (s)
4K s(s + 2)
C(s)
[解]：1根据对静态速度误差系数的要求，确定系统开环增益K。
4K K v = lim s = 2 K = 20 s →0 s ( s + 2) K = 10
当K=10时，未校正系统的开环频率特性为
40 G ( jω ) = jω ( jω + 2) 20 G ( jω ) = ω 2 ω 1+ ( ) 2