基于ARMA模型的恩格尔系数的分析与预测

基于ARMA模型的恩格尔系数的分析与预测
摘要：恩格尔系数是衡量居民消费水平的重要指标，而居民消费水平可以反映一个国家的经济发展状况。

基于1978-2011年中国城乡居民家庭恩格尔系数的时间序列，建立ARMA模型，用Eviews软件进行拟合，对数据进行分析，并给出2012-2013年的预测值，预测结果表明我国城乡居民家庭恩格尔系数将进一步降低。

关键词：恩格尔系数；时间序列；ARMA模型；预测
改革开放以后，我国经济迅速发展，我们可以通过一些计量指标和经济规律，对我国经济的发展做出分析和预测。

其中，德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的恩格尔系数（Engel’s coefficient），即食品支出占全部生活消费支出的比重，被世界各国广泛采用，主要用于衡量一个国家或地区居民的生活水平。

恩格尔系数越大，一个家庭或国家越贫困；恩格尔系数越小，生活越富裕。

根据国际粮农组织提出的标准，恩格尔系数大于60%属于贫穷，50%-59%属于温饱，40%-49%属于小康，30%-39%属于富裕，30%以下属于最富裕。

ARMA模型是一种确定型时间序列模型预测方法，其预测精度高于简单模型。

本文结合1978-2011年中国农村和城镇居民家庭恩格尔系数的历史数据，运用ARMA模型建模，并进行预测，从而推断其未来趋势。

一、ARMA模型概述
ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），即自回归移动平均模型，是由美国统计学家Box和英国统计学家JenkinsGM于20世纪70年代提出的时间序列分析模型，又称为Box-Jenkins模型。

ARMA模型有3种基本类型，分别是
（1）n阶自回归模型（Auto Regressive Model），简称AR（n）模型：
（2）m阶移动平均模型（Moving Average Model），简称MA（m）模型：
（3）n阶自回归m阶移动平均模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），简称ARMA（n，m）模型：
二、ARMA模型的建立
（一）数据平稳化处理
表1为1978-2011年中国农村和城镇居民家庭恩格尔系数，共34个样本。

表1 1978-2011年中国城乡居民家庭恩格尔系数
数据来源：《中国统计年鉴》。

根据表1的时间序列数据，运用Eviews6分别作出中国农村和城镇居民家庭恩格尔系数的时间序列图，分别记为序列{Xt}和序列{Yt}。

图1 1978-2011年中国城乡居民家庭恩格尔系数变化趋势
由图1所示，自改革开放以来，我国农村居民家庭恩格尔系数{Xt}和城镇居民家庭恩格尔系数{Yt}均呈现下降的趋势，故序列均为非平稳序列，需对原始数据进行差分处理，一阶差分后的序列图如图2所示。

图2 一阶差分后的序列图
由图2可以看出差分后的序列大致是平稳的，进一步地，需要通过ADF检验对一阶差分后的序列进行平稳性检验，ADF检验结果如图3、图4所示，经检验可知，ADF t-Statistic值分别为-5.255045和-4.657677，其绝对值大于显著水平为1%的临界值，故拒绝原假设，即数据一阶差分后是平稳的。

表2 序列{Xt}的ADF检验
表3 序列{Yt}的ADF检验
（二）模型定阶
模型的阶数可以通过平稳序列样本自相关函数（ACF）和偏相关函数（PACF）来确定。

若平稳序列xt是自相关函数是拖尾的且偏自相关函数是截尾的，则序列xt是AR序列；若平稳序xt的自相关函数是截尾的而偏自相关函数是拖尾的，则序列xt是MA序列；若平稳序列xt的自相关函数与偏自相关函数都是拖尾的，则序列xtt是ARMA序列。

一阶差分后序列{DYt}的自相关图和偏自相关图都没有明显的截尾性，故应建立ARMA模型。

采用Akaike提出的AIC准则和Schwartz提出的SC准则，对序列{DYt}的ARMA模型进行逐步比较定阶。

由于经济变量一般都为1阶或2阶ARMA模型，因此选取4种模型进行比较，这4种模型分别为ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）。

利用Eiews软件分别建立ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）模型，把4个模型的检验结果汇总列入表4。

比较可知ARMA
（1，1）模型的AIC值和SC值均最小，决定系数R2较大，所以选择ARMA（1，1）模型，并估计其参数，结果见表5。

表4 模型检验结果
表5 参数估计结果
最终建立的模型为
对于序列{DXt}，选取ARMA（2，2）模型对农村居民家庭恩格尔系数趋势进行拟合，其参数估计及检验结果见表6，最终建立的模型为。