【教案】函数中的数形结合思想

函数中的数形结合思想

数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果.在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题.

例1 设f(x)是定义在R上的周期为2的周期偶函数，已知当x ∈［2，3］时，f(x)=x．求x∈［-2，0］时f(x)的解析式．解: 先画出x∈［2，3］时f(x)的图象；

再由周期性可画出f(x)在［0，1］和［-2，

-1］上的图象，再由偶函数图象关于y轴对

称的性质，可画出x∈［-3，-2］和x∈［-1，0］的图象．由图象不难求出

因此当x∈［－2，0］时，f(x)=3-｜x＋1｜．图1

点评:通过函数图象,可以形象直观地找到函数所具有地特点,数形结合还能避免考虑不周而出现的问题,同学们要养成“看式画图”的良好习惯.

例2 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一解,求实数m 的取值范围.

分析:将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决. 解: 原方程变形为 ⎩⎨

⎧-=-+->-,

33,

032

x m x x x

即⎩⎨⎧-=->-,

1)2(,032

m x x 设曲线y 1＝(x －2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图象如图2所示.由图可知：

① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m <4时，有唯一解，即－3

此题也可设曲线y 1＝－(x －2)2＋1 , x ∈(0,3)和直线y 2＝m 后画出图像求解.

点评: 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了.此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x 值）.

例3 确定函数y =

的单调区间.

y

4

y =1-m

1

O 2 3

x

图2

图3

画出函数的草图（图3），由图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］，［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］. 点评：通过作出函数的简图，比较容易看出函数的单调区间，但要注意作图要准确.

基础训练:

1.

方

程

lg sin x x

=的实根的个数为

（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2.定义在R 上的函数y f x =-∞()()在，2上为增函数，且函数

y f x =+()

2的图象的对称轴为

x =0

，则

（ ）.

A. f f ()()-<13

B. f f ()()03>

C. f f ()()-=-13

D.

f f ()()23<

3.若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12恒成立，则a 的取值范围

为（ ）.

A. （0，1）

B. （1，2）

C. （1，2]

D. [1，2]

技能训练:

4. 若f x x bx c ()=++2对任意实数t ，都有f t f t ()()22+=-，则

f f ()()13、-、f ()4由小到大依次为___________。

5.若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 23303在，上有唯一解， 求m 的取值范围.

试题链接:

6.(2007年广东) 客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）

60

s (km)

60

s (km)

60

s (km)

60

s (km)

7（2007年山东）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12

m n

+的最小值为 ．

练习题参考答案

基础训练:

1.C 提示：画出

y x y x ==sin lg ，在同

一坐标系中的图象，即可.

2. A 提示：f (x +2)的图象是由f (x )的图象向左平移2个单位而得到的，又知

f (x +2)的图象关于直线x =0（即y 轴）对

称，故可推知，f (x )的图象关于直线x =2

对称，由f(x)在（-∞，2）上为增函数，可知，f(x)在()2，+∞上为减函数，依此易比较函数值的大小。 3. C 提示：令y x y x a 1221=-=()log ，，

1 2 3 t (h)

1 2 3 t (h)

1 2 3 t (h)

1 2 3

t (h)

A

B

C

D

0 0 0