解排列组合应用题的26种策略

解排列组合应用题的26种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1、相邻排列——捆绑法：

n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法

先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，

共有11n k n k A -+-+种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有k k A 种方法．由乘法

原理得符合条件的排列，共1

1

n k k n k k A A -+-+·种． 例1.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b a ,必须相邻且b 在a 的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

解析：把b a ,视为一人，且b 固定在a 的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A =种，

答案：D .

例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法

解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A 种排法；女生内部的排法有33A 种，男生内部的排法有4

4A 种．故合题意的排法有234

2

34288A A A =··种． 2.相离排列——插空法：

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的

几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻()k n k -≤，有多少种排法 先把()n k -个元素排成一排，然后把k 个元素插入(1)n k -+个空隙中，共有排法1k n k A -+种．

例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种

解：先把科学家作排列，共有55A 种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A 种排法，

故符合条件的站法共有5

5

5686400A A =·种站法． 例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是52

563600A A =种，选B .

3、定序问题---倍缩法：

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫

消序法.

将n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法

n 个不同元素排列成一排，共有n n A 种排法；k 个不同元素排列成一排共有k k A 种不同排法．于

是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的k k

A 分之一．故符合条件的排列共n

n

k k

A A 种．

例5.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b 必须站在a 的右边（b a ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

解析：b 在a 的右边与b 在a 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

5

51602

A =种，选

B . 例6. A ，B ，

C ，

D ，

E 五个元素排成一列，要求A 在B 的前面且D 在E 的前面，有多少种

不同的排法

解：5个不同元素排列一列，共有55A 种排法． A ，B 两个元素的排列数为22A ；D ，E 两个元素的排列数为22A ．

因此，符合条件的排列法为55

2222

30A A A ·种．

4、标号排位问题---分步法：

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .

5、留空排列——借元法

例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。 解：由题意，先借7人一排坐好，再安排3在8个空中找3个空插入，最后撤出借来的7人。

得不同的坐法共有7

73877/A A A 种。

6、有序分配问题----逐分法：

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例9.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第