判别式法

判别式法

判别式法是中学数学中的一种常用方法，它在平面解析几何中有下列应用：

(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系

它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)

点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．

椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组

y2=2px

有四个不同的实数解．

显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．

设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为

又由已知，得p＞0 ⑤

【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ

(二)求极值

例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB 面积S的最小值．

【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y 轴上的截距分别为

从而9k2+2(S-6)k+4=0．

∵Δ=[2(S-6)]2-4×4×9≥0，

∴S(S-12)≥0．

∵S＞0，∴S≥12．

∴S min=12．

例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．

【解】设x+y=u，则y=u-x．

把它代入椭圆方程中，整理，得

13x2-8ux+4(u2-9)=0．

∵x是实数，∴Δ≥0即(-8u)2-4×13×4(u2-9)≥0．解之，得-

(三)求参数的取值范围

例4已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．

【解法1】如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得

以上两式相减，得

x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．

∵点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-

∵P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实