关于有限自动机的简介

NFA到DFA的转换

合并 （Close(S)） 1.对S状态寻找边，如果有令Ss＝{S} 2.对任意状态SiSs,如果有：f(Si,)= Sj则 消除边：Ss= SsSj 重复上述操作直至没有边 3.对a f(Ss,a)= f(Sk,a) Ss={S1,…,Sm},k=1,…,m. 4.如果Ss中包含初始状态则Ss也为初始状 态，如果有终止状态，则Ss为终止状态。

定理 对于每一个非确定自动机A,存在一个 确定自动机A’,使得L(A)=L(A’). 转换： 符号合并
同一状态的不同输出边标有相同的字符。

合并
含有边
NFA到DFA的转换

符号合并：A：NFA, A’:DFA 1.令A’的初始状态为S0’=[S1,S2,…Sk], 其中S1…Sk是A的全部初始状态。 2.若S’=[S1,…,Sm]是A’的一个状态， a则定义 f’(S’,a)=f(S1,a)f(S2,a)…f(Sm,a) 3.若S’=[S1,…,Sn]是A’的一个状态,且存 在一个Si是A的终止状态，则令S’为A’ 的终止状态。
2
3
0
6

7
1
a
4 b 5
8
b
9
b
10

DFA的化简（极小化）

状态等价 对DFA中的两个状态S1和S2， 如果将它们看作是初始状态，所接受 的符号串相同，则定义S1和S2是等价的。 方法 状态合并法 状态分离法

DFA的化简

状态合并法（状态吸收方法）
寻找等价状态S1和S2 如果S2为初始状态，则S1和S2对调 S2的出现修改为S1
有限自动机(Finite AutomBaidu Nhomakorabeata)
描述程序设计语言中的单词的识别过程。 主要内容： 确定有限自动机DFA(Deterninistic FA) 确定有限自动机DFA的实现 非确定有限自动机NFA(Nondeterninistic FA) NFA到DFA的转换 DFA的化简
正则表达式到FA的转换规则：
首先扩展转换图：
X

a
W
b
2 3
1
ab
3
1
a
a|b
1 2
1
2
b b
1
b*
3
1

2

3
DFA到正则表达式的转换规则：
a
1 2
b
3 1
ab
3
a a|b
1 2 1 2
b b
1
a
2
c
a b* c
3 1 3
词法分析器的工作过程
输入流 词法分析器（Scanner） DFA TokenList
确定有限自动机DFA

确定有限自动机DFA为一个五元组 (,SS,S0,f,TS)，其中： 是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个 输入字符； SS是一个有穷集，它的每个元素称为一个状态； S0 SS是唯一的一个初始状态； f是在 SS SS上的转换函数 TSSS，是一个终止状态集，又称为接受状态 集
DFA的两种表示方式

状态转换图： 结点表示状态，转换边表示转换函数，边 的箭头方向指向转换函数中定义的转换方 向。标识出初始状态和终止状态。 状态转换表： 可用二维数组描述。标识出初始状态和终 止状态。 Trans（ SI ，a）＝ SJ

一个DFA的例子

DFA M=( {a,b}, {S,U,V,Q}, S, f, {Q} ), 其中 f 定义为： f ( S, a )=U f ( V, a )=U f ( S, b )=V f ( V, b )=Q f ( U, a )=Q f ( Q, a )=Q f ( U, b )=V f ( Q, b )=Q
NFA到DFA的转换
NFA到DFA的转换过程:
1. NFA初始状态集的合并集作为DFA的初始状 态。 2. 对DFA中一状态S，对a,进行符号合并和 合并得到的状态设为S’,定义DFA的转换函 数为f(S,a)=S’. 3. 直至没有新状态产生为止。
例：将如下的NFA转化为DFA
a

a
U
b a
a a,b
S
b
Q
b
V
状态转换图
字符 状态 S
a U
b V
U V
Q
Q U
Q
V Q
Q
状态转换表
DFA接受的字符串

对于*中的任何字符串t,若存在一条从初始 结点到某一终止结点的路径，且这条路上所 有弧的标记符连接成的字符串等于t,则称t 可为DFA M所接受（识别）。 DFA M 所能接受的字符串的全体记为L(M).
error
NFA
词法描述（正则表达式）
词法分析器的设计

人工构造词法分析器过程： 1.确定词法分析器的接口，即确定词法分析 器是作为语法分析的一个子程序还是作为 独立一遍。 2.确定单词分类和Token结构。 3.根据2步，构造每一类单词的描述 正则表达式NFADFA。 4.根据3步设计算法实现DFA。
单元总结
两个工具：
有限自动机、正则表达式
三个算法：
正则表达式到FA的转换 NFA到DFA的转换 DFA的化简
一个实现：
DFA的实现
作业： 构造正则表达式 (a|b)*abb(a|b)*的最简 DFA。要求先构造NFA，其次转换为DFA，最 后加以极小化。 书上 Pp58 第8题 附加题： 分别构造{}和的自动机
Lex输入文件的格式

输入文件格式： {declarations} %% {rules}
%{声明变量,常量%} 正则定义
%% {auxiliary procedures}
p {action}
例子 %{
LT, LE, IF, THEN, ELSE #include <stdio.h> int count =0; %} letter [A-Za-z] digit [0-9] id {letter} ({letter}| {digit})* %% if {return (IF);} {id} {yylval = installid();return (ID);} “<” {yylval = LT; return (RELOP);} %% installid() { …… }

利用工具自动生成：ScanGen Lex
词法分析器的生成器－Lex
功能： 依据语言的正则表达式，自动生成该语言的 词法分析程序。 执行过程：

正则 表达式 文件 Lex.l
词法
Lex
分 析 器 lexyy.c 输入流
C编译器
a.out
Token 序列
Lex中的元字符





[abc] ：字符a、b或c中的任一个。 a? ： 一个可选的a。 [^ab] ：除了a、b外的任何一个字符。 . ：除了新行之外的任一字符。 \. ：字符 “.”。 {xxx}：名字为xxx的正则表达式。 [a-z] ：a到z中的任一字符。 为了与减号区别，减号表示为“\-”。
定义2：设A是一个NFA，A= (,SS,S0,f,TS) 则定义L(A)为从任意初始状态到任意终止状 态所接受的字符串。 L(A)={|s0s’, s0 S0 s’TS}

定义3：设A1和A2是同一个字母表上的自动机， 如果有L(A1)=L(A2),则称A1和A2等价。
NFA到DFA的转换

特点：
程序短小，但占用存储空间多
DFA的实现2
状态转换图的形式： 每个状态对应一个带标号的case语句 转向边对应goto语句

a
i b

j
Li: case CurrentChar of
a
k b
：goto Lj
: goto Lk
特点： 程序长，但占用存储空间少
other : Error( )
删除状态S2。

状态分离法
初始化为两个不等价状态集组：非终止状态 组和终止状态组。 对每组中的某个状态分离出与之不等价的状 态组，直至所有状态组内部状态都等价为止
正则表达式与有限自动机等价
定理：对任一确定有限自动机A，存在一正 则表达式e,使得L(A)=L(e),反之亦然。 关系图：
NFA
DFA
正则表达式

DFA的确定性
初始状态唯一。 转换函数f:SSSS是一个单值函数，也就 是说，对任何状态SSS,和输入符号a , f(S,a)唯一地确定了下一个状态。即转换函 数至多确定一个状态。 没有空边。即没有输入为（）

DFA的实现1

状态转换表的形式：（数组T存放转换函数）
1.当前状态State置为初始状态 2.读一个字符 CurrentChar 3.如果CurrentCharEof并且 T(State,CurrentChar)error 则当前状态转为新的状态T(State,Current)， 读下一字符。重复第3步工作。 4.如果当前字符为Eof并且当前状态属于终止状态， 则接受当前字符串，程序结束。否则报错
非确定有限自动机NFA
定义1：一个非确定有限自动机(NFA)A是 一个五元组A=(,SS,S0,f,TS).其中 是字母表 SS是状态集 S0是初始状态集 f是转换函数，但不要求是单值的 f: SS (∪{}) 2SS TS是终止状态集

非确定有限自动机NFA