广西大学复变函数与积分变换习题4

第四章 解析函数的级数表示

1．下列序列是否有极限？如果有极限，求出其极限. (1) 1n n z i n =+; (2) n

n z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

(1) 11()2n n i n ∞

=+∑; (2)1;!n

n i n ∞=∑ 3.证明级数1(2)n n z ∞

=∑当1||2

z <

时绝对收敛. 4．试确定下列幂级数的收敛半径. (1)211(1)n n n z n ∞=+∑; (2) 1(1)!n n n z n ∞

=-∑. 5．将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域. (1) 311z +; (2) 1(0,0)()()

a b z a z b ≠≠--; 6．求下列函数在指定点0z 处的泰勒展式. (1)

021,1;z z = (2)01,1;43z i z

=+- 7．将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数. (1)21,0||1,1||;(1)

z z z z z +<<<<∞- (2) 21/,0||;z z e z <<∞

8．将21()32f z z z =

-+在1z =处展开洛朗级数. 9．将221()(1)f z z =

+在z i =的去心领域内展开成洛朗级数.