数学分析函数项级数、幂级数习题习题

a x 3
n 0 n

n
在 x 1 处是收敛的，则此级数在 x 1 处 C. 条件收敛； D. 不能确定敛散性.
（
)
A. 发散；

B. 绝对收敛；
n n
5. 设级数
a x 1
n 0
的收敛半径是 1，则级数在 x 3 点 C. 绝对收敛； D. 不能确定敛散性.
a
n 0

n
x n 的收敛半径为 R,那么 an R； n a n 1
(
)
A. lim
a n 1 R； n a n
B.
lim
C. lim a n R ；
n
D. lim
a n 1 不一定存在. n a n
二、判断题
1.若周期函数 f ( x) 生成了傅里叶级数，则该傅里叶级数必定收敛于函数 f ( x) 。 （ ）
(1)n
n 1

xn 的收敛半径和收敛域，并求和函数。 n
2．求下列函数 f ( x) 的导数 f ( x) 与定积分

x
0
f (t )dt ，并给出收敛区间。
3．将下列函数展成马克劳林级数（可用已知的展开公式） ： （1） a ( a 0) 。
x
（2） f ( x)

x
0
e t dt 。
x0 内绝对收敛。
（
）
4. 设幂级数
Fra Baidu bibliotek
a (x x )
n
的收敛半径为 R ，则在 ( x0 R, x0 R ) 上幂级数逐项求导和逐项积分后 （ ）
的级数其收敛半径仍为 R 。
三、填空题
1．设函数 f ( x)

xn cos nx 2 ，则 lim f ( x) = n x 1 n 0 3
贵州工程应用技术学院课程考试试卷纸
2. 幂级数
a (x x )
n 0 n 0 n 0 n

n
在 x x0 R 内绝对收敛，在 x x0 R 内发散。
（
）
3. 若幂级数
a (x x )
0 n 0 n 0
n
在点 x 收敛，那么它必在 x x0
，幂 级 数

2. 幂 级 数

n
n 1
1
xn 的 收 敛 区 间 为 2
n
n 1

1
2
( x 3) n 的 收 敛 区 间 为
.
3. 级数
xn 的和函数是 n 1 n !
.
四、综合题
1. 求幂级数
x 2 n 1 的收敛半径和收敛区间,并求和. n 1 2n 1

1*
求幂级数
（
）
A. 当 x 2 时,收敛； C. 当 x
B. 当 x 8 时,收敛； D. 当 x
1 时,发散； 8
1 时,发散. 2
（ )
3. 设级数
b x 2
n 0 n

n
在 x 2 处收敛，则此级数在 x 4 处 B. 绝对收敛； D. 不能确定敛散性.
A. 发散； C. 条件收敛； 4. 设级数
（
)
A. 发散；
B. 条件收敛；
6. 如果 f x 能展开成 x 的幂级数，那么该幂级数 A. 是 f x 的麦克劳林级数； C. 不是 f x 的麦克劳林级数； B. 不一定是 f x 的麦克劳林级数； D. 是 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
(
)
7. 若幂级数

2
2n n 1 x 4．证明：幂级数 y 满足微分方程 2 n 0 n! 2
xy y xy 0 。

5. 讨论级数
cos nx np
n 1
(0 x ) 的绝对和条件收敛性。
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第十一章
函数项级数、幂级数习题
一、选择题
1. 级数
(1)n1
n 1

( x 1) n 的收敛域为 n
B. [0，2） ； C. （0，2]； D. [0，2].
（
）
A. （0，2） ； 2. 如果 lim
a n 1 1 ,则幂级数 a n x 3n 必定 n a 8 n 0 n
6. 证明函数 f ( x)

ne
n 1

nx
在区间 ( 0 , ) 内连续.
7. 证明级数 不一致收敛.
x
n 0
n
在闭区间 [ a, a ]( a 1) 上一致收敛,但在开区间 ( 1,1) 内