离散数学第7章 图论 习题
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2)若上u面与的v分分别析属可于知两，个u与不v同在的G连中通连分通支。G[Vi]与G[Vj]，由
故当图G不连通时，则补图G是连通的
离散数学第7章 图论 习题
4
7-2（4）:当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时， e才是G的割边。
证明：必要性。（ e是G的割边） 设e是连通图G的割边，e关联的两个结点是u和v。如果e包含在 G的一个回路中，那么除边e=(u,v)外还有另一条分别以u和v为 端点的路，所以删去边e后，G仍为连通图，这与e是割边相矛盾。
a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
给定图G，经过图中每 个结点恰好一次的回路称作 汉密尔顿回路。
b)画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。
证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。
将和(点Gu中k的{/2v,kv1度个,kv/2数2奇),共…均数k,v为/度k2/条2偶}结边。数点，对，分得图故为到GG数添’图中目加G存相’边。在等(由u一的1,于条v两1图)欧组, G拉({u’u2中回,1v,u2每路)2,,……个。,,结uk/2} 在点(分图u2是别G,v’2为u中)1，和u删2得v和去1到。v边2两结 。(u条点结1,v边u点12)和互u,得3v和不到2必v相一3在必重条路在的欧的某迹拉中一，路间条这, ,迹此两再的路个删中的迹去间两的边。个端端点 再为删两去条边边(u3互,v3不) ，相则重将的一迹条，迹共（得包到含3条u3互和不v3相的重迹的）迹又。分 以(此uk继/2,v续k/2下)全去部,直删到去所,得离有散到数的学k第添/27章条加图论边边习互题(u1不,v相1),重(u的2,v路2)(,…迹,)。14
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一个欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e的奇偶性一样。 b) v，e的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。
第7章 习题课
离散数学第7章 图论 习题
1
练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边，
v至多和n-1个结点相邻， 也即deg(v) ≤n-1, 而 △(G)＝max deg(v) ≤ n-1,
因此 最大度小于结点数。
离散数学第7章 图论 习题
闭迹上每个结点都是关联偶数条边,而deg(u)为奇数,所以至少还 有一条关联于结点u的边不在此闭迹上。继续从u出发,沿着该边 到达另一个结点u1’,依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样 经过有限次后必可到达结点v,这就是一条从u到v的路。
练习7-2（3）： 若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。
故A的可达 P= 性矩阵为：
1 0 1 10 1 0 0 00 1 0 1 00 0 0 0 00
距离矩阵为
0∞∞∞∞ 1 0 1 1∞ 1∞ 0∞∞ 2∞ 1 0∞ ∞∞∞∞0
300页（4）：写出如图7-3.11所示的图G的完全 关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。
完全关联矩阵为:
此图为连通图，由定理 7-3.2，其秩为5。
2
练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点， 则这两个结点之间必有一条路。
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通的，并且 所有结点度数全为偶数。下面的 图中所有结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
在无孤立结点图G中，经过图 中每条边一次且仅有一次的一
条回路，称为欧拉回路。
充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只 有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有 不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导 致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A的第5列全为0，所
i=1时，因为A的第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A的第2列 全为0，所以A不变。
距离矩阵为
0 1 21 ∞ 01 1 ∞1 01 ∞1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
300页（3）
i=3时，因为A[2，3]=A[4，3]=1，将第3
邻接矩阵为
行加到第2行和第4行。
0 0 0 00
1 0 1 10 A= 1 0 0 0 0
0 0 1 00 0 0 0 00
0 0 0 00Βιβλιοθήκη Baidu
证明：若G=<V,E>是不连通的，可设图G的连通分支为 G[V1],G[V2],……,G[Vm](m≥2)。
由于任意两个连通分支G[Vi],G[Vj]不连通，因此Vi与Vj之 间的连线在补图中，在G中任取两个结点u和v，则u和v
的位置有两种情况：
1)若可u在和另v均一在个同连一通个分连支通G分[V支j]（Gi[≠Vj)i]中中取,根一据个上结面点的w分，析使，得 u与w，v 与w在G中连通，故有u－w－v，即u与v在G 中连通
故当图G不连通时，则补图G是连通的
离散数学第7章 图论 习题
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7-2（4）:当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时， e才是G的割边。
证明：必要性。（ e是G的割边） 设e是连通图G的割边，e关联的两个结点是u和v。如果e包含在 G的一个回路中，那么除边e=(u,v)外还有另一条分别以u和v为 端点的路，所以删去边e后，G仍为连通图，这与e是割边相矛盾。
a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
给定图G，经过图中每 个结点恰好一次的回路称作 汉密尔顿回路。
b)画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。
证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。
将和(点Gu中k的{/2v,kv1度个,kv/2数2奇),共…均数k,v为/度k2/条2偶}结边。数点，对，分得图故为到GG数添’图中目加G存相’边。在等(由u一的1,于条v两1图)欧组, G拉({u’u2中回,1v,u2每路)2,,……个。,,结uk/2} 在点(分图u2是别G,v’2为u中)1，和u删2得v和去1到。v边2两结 。(u条点结1,v边u点12)和互u,得3v和不到2必v相一3在必重条路在的欧的某迹拉中一，路间条这, ,迹此两再的路个删中的迹去间两的边。个端端点 再为删两去条边边(u3互,v3不) ，相则重将的一迹条，迹共（得包到含3条u3互和不v3相的重迹的）迹又。分 以(此uk继/2,v续k/2下)全去部,直删到去所,得离有散到数的学k第添/27章条加图论边边习互题(u1不,v相1),重(u的2,v路2)(,…迹,)。14
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一个欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e的奇偶性一样。 b) v，e的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。
第7章 习题课
离散数学第7章 图论 习题
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练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边，
v至多和n-1个结点相邻， 也即deg(v) ≤n-1, 而 △(G)＝max deg(v) ≤ n-1,
因此 最大度小于结点数。
离散数学第7章 图论 习题
闭迹上每个结点都是关联偶数条边,而deg(u)为奇数,所以至少还 有一条关联于结点u的边不在此闭迹上。继续从u出发,沿着该边 到达另一个结点u1’,依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样 经过有限次后必可到达结点v,这就是一条从u到v的路。
练习7-2（3）： 若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。
故A的可达 P= 性矩阵为：
1 0 1 10 1 0 0 00 1 0 1 00 0 0 0 00
距离矩阵为
0∞∞∞∞ 1 0 1 1∞ 1∞ 0∞∞ 2∞ 1 0∞ ∞∞∞∞0
300页（4）：写出如图7-3.11所示的图G的完全 关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。
完全关联矩阵为:
此图为连通图，由定理 7-3.2，其秩为5。
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练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点， 则这两个结点之间必有一条路。
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通的，并且 所有结点度数全为偶数。下面的 图中所有结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
在无孤立结点图G中，经过图 中每条边一次且仅有一次的一
条回路，称为欧拉回路。
充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只 有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有 不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导 致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A的第5列全为0，所
i=1时，因为A的第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A的第2列 全为0，所以A不变。
距离矩阵为
0 1 21 ∞ 01 1 ∞1 01 ∞1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
300页（3）
i=3时，因为A[2，3]=A[4，3]=1，将第3
邻接矩阵为
行加到第2行和第4行。
0 0 0 00
1 0 1 10 A= 1 0 0 0 0
0 0 1 00 0 0 0 00
0 0 0 00Βιβλιοθήκη Baidu
证明：若G=<V,E>是不连通的，可设图G的连通分支为 G[V1],G[V2],……,G[Vm](m≥2)。
由于任意两个连通分支G[Vi],G[Vj]不连通，因此Vi与Vj之 间的连线在补图中，在G中任取两个结点u和v，则u和v
的位置有两种情况：
1)若可u在和另v均一在个同连一通个分连支通G分[V支j]（Gi[≠Vj)i]中中取,根一据个上结面点的w分，析使，得 u与w，v 与w在G中连通，故有u－w－v，即u与v在G 中连通