判定中心与焦点的一种简明方法

可见 ,借助 Lyapunov 稳定性理论 ,通过非线性
微分方程的线性化 ,得到了判定中心与焦点的这
种新方法 ,通过与后继函数法和幂级数法比较 ,可
见此法的方便快捷之处 。
[ 参考文献 ]
[1 ]马知恩 ,周义仓. 常微分方程定性与稳定性方法 [ M] . 北京 :科学出版社 ,2005.
[2 ]秦元勋. 运动稳定性理论及其应用 [ M] . 北京 :科学出 版社 ,1980.
一个正定 (负定) 函数 V ( x) ,使得 V ( x) 是半负定 (半正定) 时 ,则系统 (Δ) 的零解是稳定的 ; 若使 得 V ( x) 是负定 (正定) 时 ,则系统 (Δ) 的零解是
渐进稳定 。
若结合非线性微分方程的线性化分析方法和
Lyapunov 稳定性定理 ,就可得到中心焦点的一种
bc)
由动力系统稳定性理论分析知 : 当 p > 0 , p
= 0 时 ,系统 (2) 的轨线是以原点为中心的同心圆 族 ,此时称奇点 O 为中心 。当 q > 0 , p2 - 4 q = 0
时 ,系统 (2) 轨线为环绕 O 点的螺旋线 ,此时称奇
点 O 为焦点 。相点趋于 O 点 ,焦点 O 是稳定的 ;相
Abstract : In this article ,with the aid of the Lyapunov stability theory and using a non - linear minute equation the
linearized differential method ,we have proposed and proved one new method of determinating center and the focal
简明的判断方法 。
判断中心焦点的方法 : 设原点 O 是系统 (1)
的一个奇点 ,并且是对应线性系统 (2) 的中心 ,在
原点的邻域 U 内存在一个连续可微的正定函数
V ( x) : Rn → R ,有以下几种情形 :
1) 若 V ( x) 沿着系统 (1) 轨线的全导数 V ( x)
[ 收稿日期 ]2007 - 08 - 10 [ 作者简介 ]王锋 (1972 - ) ,男 ,汉族 ,安阳工学院理学部讲师 ,郑州大学数学系在读研究生 ,从事非线性动力学及其应用
研究 。
第 5 期 王锋 ,崔宏宇 :判定中心与焦点的一种简明方法
13
= 0 ,则 O 是系统 (1) 的中心 。 2) 若 V ( x) 沿着系统 (1) 轨线的全导数负定 ,
即: V ( x) = 0 x = (0 ,0 , …,0) V ( x) < 0 x ≠ (0 ,0 , …,0) ,
则 O 是系统 (1) 的稳定焦点 。 3) 若沿着系统 (1) 轨线的全导数正定 ,即 : V ( x) = 0 x = (0 ,0 , …,0) V ( x) > 0 x ≠ (0 ,0 , …,0) ,
则 O 是系统 (1) 的不稳定焦点 。 证明 :设在原点的邻域 U 内存在一个连续可
微的正定函数 V ( x) : Rn → R , 若 V ( x) 正定 , 则 V ( x) = C 是 Rn 中包围原点的闭曲面 ,且随着 x 趋于原点 , V ( x) 沿着系统 (1) 轨线的全导数
显然 :当
x21 + x22
=
1 n
时
,
dV ( x1 , x2 ) = 0 ; dt
当1 2n + 2
<
x21
+
x22
<
2
1 n+
1
时
,
dV ( x1 , x2 ) dt
< 0;
当1 2n + 2
<
x21
+
x22
<
1 2n
时
,
dV ( x1 , x2 ) dt
> 0。
经分析 ,得出同上结论 ,即 O 为中心焦点 。
[3 ]林武忠. 常微分方程[M] . 北京 :科学出版社 ,2003.
One Concise Method of Determinating Center and Focal Pointone
WANG Feng ,CUI Hong2yu
(Anyang Institute of Technologey Mathematics Department , Anyang 455002 ,China)
[ 责任编辑 :D ]
1) 若 V ( x)
=
0
,则
gradV
和
ν p
方向垂直 ,相
点沿着等高线运动 , 又原点是系统 (1) 对应的线
性系统 (2) 的中心 , 故 O 只能是 (1) 的焦点或中
心 ,故原点 O 必是非线性系统 (1) 的中心 。
2) 若 V ( x) < 0 ,则 gradV 和νp 夹角为钝角 ,
相点向里趋于原点 ,故此时原点 O 必是非线性系
统 (1) 的稳定焦点 。
3) 若 V ( x) > 0 , 则 gradV 和νp 夹角为锐角 ,
此时相点向外移动 ,故此时原点 O 必是非线性系
统 (1) 的不稳定焦点 。
3 中心焦点判断方法的比较
判断中心焦点常用的方法是形式级数法和后
继函数法 ,形式级数法涉及到 Pioncare 映射和幂 级数的运算 ,极为复杂 ,这里不再赘言 ,这里只与 后继函数法进行比较 。
=
1 2
( x21
+
x22 )
,则
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安阳师范学院学报 第 5 期
dV ( x1 , x2 ) dt
=
dV ( x1 , x2 ) ·dx1
dx1
dt
+
dV ( x1 , x2 ) dx2
·dx2
dt
= ( x21 + x22 ) k+1 sin
π x21 + x22
point. The convenience and quickness of this law is obvious by comparing with the successor function method and
the power series law.
Key words :Lyapunov stable theoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱem ; Center and focal point ; Successor function method
+
dV ( x1 , x2 ) dx2
·dx2
dt
=-
( x21
+
x22 )
3 2
<0
故 O (0 ,0) 为稳定焦点 。
例 2 、对系统
dx1 dt
=-
x2 + x1 ( x21 + x22 ) k sin
π x21 + x22
dx2 dt
=
x1 + x2 ( x21 +
x22 ) k sin
π x21 + x22
为研究此系统零解的稳定性 ,要考虑随时间
变化时函数 V ( x ( t) ) 的变化情况 , 定 义 : 函 数 V ( x) 沿着系统 (Δ) 轨线的全导数 :
V ( t)
=
dV ( x ( t) ) dt
=
5V 5 x1
dx1 dt
+
5V 5 x2
dx2 dt
+
…+
5V 5 xn
dxn dt
Lyapunov 稳定性定理 :若有原点的邻域 U 和
V ( t)
=
dV ( x ( t) ) dt
=
5V 5 x1
dx1 dt
+
5V 5 x2
dx2 dt
+
…+
5V 5 xn
dxn dt
= gradV ·νp
式中 gradV 是等高线 V ( x) = C 的梯度 ,νp 系统
(1) 的轨线的相速度 ,因为 V ( x) 正定 , gradV 方向
指向外 。
均为闭曲线; 且当
1 2n -
1
<
r
<
1 2n -
2
时,
dr dt
>
0
;
当
1 2n
<
r
<
1 2n -
1
时
,
dr dt
<
0 。这里θ =
t
+ θ(0) 。因此 ,在奇
点的外围有一闭轨线序列缩小趋于奇点 O ,而每
两个相邻的闭轨线之间都有螺线环绕 ,故 O 为中
心焦点 。
本文方法 :作 V ( x1 , x2 )
点远离 O 点 ,焦点 O 是不稳定的 。 系统 (1) 与系统 (2) 可通过拓扑变换相互转
化 ,即二者是拓扑同胚 ,二者具有相同的拓扑结构 稳定性 。
2 判断中心或焦点
设非线性系统
dx dt
=
f ( x) , f (0)
= 0 (Δ) 的解为
x ( t) = ( x1 ( t) , x2 ( t) , …, xn ( t) ) τ
判断奇点 O 的类型 , k 是正整数 。
解 :后继函数法 :
作极坐标变换 : x1 = rcosθ, x2 = rsinθ,则原
系统变为 :
dr dt
=
r2 k +1
sin
π
r
dθ
dt
=
1
分析可知 :沿 r =
1 n
,n
=
1
,2
,3
,
…,有
dr dt
=
0 ,θ =
t + θ(0) , 故 r =
1 n
例 1 、判断系统
dx1 dt
=-
x2 -
x1
x21 + x22
dx2 dt
=
x1 -
x2
x21 + x22
奇点 O (0 ,0) 的类型 。
解 :后继函数法 :
作极坐标变换 : x1 = rcosθ, x2 = rsinθ, 则原系统变为 :
dr dt
=-
r2
(1)
dθ
dt
=
1
(2)
由 (1) 可解得
(1)
与之相应的线性系统为
dx dt
=
A x或
dx dt
=
ax +
by
dy dt
=
cx
+
dy
(2)
其中 A = a b ,显然当且仅当 a b ≠0 时 ,
cd
cd
系统 (2) 有唯一的奇点 O (0 ,0) .
为研究轨线在奇点 O 邻域内的定性结构 ,可
找到矩阵 T ,使 T- 1 A T 成为 Jordan 标准型 ,从而可
r
=
1
t
+
1 r (0)
,
由 (2) 得 θ = θ(0) + t
可见 :当 t →+ ∞, r →0 时 , O 为稳定焦点 。
本文方法 :作 V ( x1 , x2 )
=
1 2
( x21
+
x22 )
,可得 :
dV ( x1 , x2 ) = dV ( x1 , x2 ) ·dx1
dt
dx1
dt
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安阳师范学院学报 第 5 期
判定中心与焦点的一种简明方法
王 锋 ,崔宏宇
(安阳工学院 理学部 ,河南 安阳 455000)
[ 摘 要 ]借助 Lyapunov 稳定性理论和非线性微分方程的线性化方法 ,提出并证明了判定中心与焦点一种新方法 ,通 过与后继函数法和幂级数法比较 ,可见此法的方便快捷之处 。
借助非奇异线性变换
x y
=
α T β ,将系统 (2) 变
为d
dt
α β
=
α T- 1 AT β
,其中λ1 与λ2 为矩阵 A 的
两个不同的实特征根 ,即特征方程
D (λ) =
a-λ b c d-λ
= λ2 - pλ + q = 0
的两不同实根 ,其中 p = - ( a + b) , q = ( ad -
[ 关键词 ]Lyapunov 稳定性定理 ;中心与焦点 ;后继函数法 [ 中图分类号 ]O175121 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1671 - 5330 (2007) 05 - 0012 - 03
1 非线性系统的中心与焦点
对于非线性系统
dx dt
=
f ( x) x
∈ Rn