第六章 高斯—克吕格投影

由于cos为小于1的值，其2次方和4次方更小，所以长度变形的大小， 主要取决于。
23
子午线收敛角
x轴的正向与过已知点所引经线切线间的夹角。
x
-dy
N
-dy
-dx o F 图6-3 子午线收敛角
24

A’
y
y y d d dy tg x x dx d d
2a2 4a4 3 6a6 5 ......
da3 da5 da7 da1 3 5 7 ...... d d d d a1 3a3 2 5a5 4 7 a7 6 ......
（6-4）
11
将这些偏导数代入等角条件则有：
当=0时，x=0，y随的变化而变化，即赤道投影为直线且为y轴。
当=0时，y=0，即中央经线投影也是直线，且为x轴；由x=s知，其长度 与实地相等；两轴的交点即为坐标原点。
当为常数时，增加，x增大，y减小。经线是凹向中央经线的曲线，收 敛于两极。
当为常数时，增加，x增大，y增大。纬线是凸向赤道的曲线。
当=0时，=1，证明了本投影的第一个条件，即中央经线投影后无长度 变形。 在同一条纬线上，长度变形随经差的增大而增大；在同一条经线上，长 度变形随纬度的减小而增大，在赤道上长度变形为最大。
在上式中，和cos都是偶次方且各项均为正号，故长度变形恒为正，除 中央经线外，其他任何线段都变大了。
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N cos3 a3 (1 tg 2 2 ) 6 N sin cos3 a4 (5 tg 2 9 2 4 4 ) 24 N cos5 a5 (5 18tg 2 tg 4 ) 120 e12 ( e cos , e ) 2 1 e1
1 1 2 cos 4 1 cos 4 (2 tg 2 ) 4 ] [cos 2 (1 2 ) 2 (2 tg 2 ) 4 ]2 3 8 3 cos 4 (5 4tg 2 )
2
2
cos 2 (1 2 )
4
同理可得：
考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/) 是一个面积元素， 恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子 取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：
x r y M
y r x M
10
da da da r ( 1 3 3 5 5 ......) M d d d da da da r da0 a1 3a3 2 5a5 4 7a7 6 ...... ( 2 2 4 4 6 6 ......) M d d d d 2a2 4a4 3 6a6 5 ......
（6-2）
x a0 a2 2 a4 4 a6 6 ...... y a1 a3 a5 a7 ......
3 5 7
（6-3）
其中a0、a1、a2、a3，…. 是待定系数，分别是纬度的函数。
7
根据第二个条件，必须满足下列等角条件：
等角投影条件为：
o
x -dy N -dy -dx F 图6-3 子午线收敛角

A’
y
将x、y对的偏导数代入，仅限于三次项，则有：
2 a 2 4 a4 3 x 3 3a3 2 1 a1 2 a2 4 a4 3 2a2 4a4 a1 tg ( )(1 ) y 3a3 2 a1 3a3 2 a1 a1 a1 1 a1 3a3 2 2a2 4a4 3 ( )(1 ) a1 a1 a1
24
（6-8）
21
长度变形特征：
2 2 4 4 2 m n 1 cos (1 ) cos (5 4tg 2 ) 2 24
22
2 2 4 4 2 m n 1 cos (1 ) cos (5 4tg 2 ) 2 24
上式为奇函数，所以角有正有负，其符号与同带经差的符号相一致。 29
投影带的划分
1∶2.5万—1∶50万地形图采用经差6分带； 1∶1万比例尺地形图采用经差3分带。
30
图6-4 高斯-克吕格投影分带的两种划分方法
31
6分带（=±3）
6分带从0子午线起，由西向东每6为一带，将全球划分为60带， 带号用自然数 1、2、3……60表示。凡是6的整倍数的经线即为分 界子午线。
20
代入长度比公式，并加以整理，有：
cos4 n 1 cos (1 ) (2 tg 4 ) 4 3
2 2 2 2
将上式开方，并按以下公式
1 1 2 1 3 1 x 1 x x x 2 8 16
则得
1 [cos 2 (1 2 ) 2
2N
2
sin cos
4N
24
sin cos3 (5 tg 2 9 2 4 4 ) ......
2 2
y N cos
N
3
6
cos (1 tg )
3
5N
120
cos5 (5 18tg 2 4tg 4 4 ) ......
假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切，椭圆柱 的中心轴位于椭球的赤道上，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中 央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面上，并 将此圆柱面展为平面，即得本投影。
3
图6-1 高斯-克吕格投影示意图
投影条件
1.中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴； 2.投影具有等角性质； 3.中央经线投影后保持长度不变。
3N
6
cos (1 tg )
3
5N
120
cos5 (5 18tg 2 4tg 4 4 ) ......
（6-7）
16
经纬线形状：
本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。
17
图6-2 高斯-克吕格投影全球经纬格网
18
x s
第六章
高斯-克吕格投影
（Gauss-Krüger Projection）
§6-1 高斯-克吕格投影的原理和公式
投影性质
等角横切椭圆柱投影
名称由来
德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年 代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投 影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
2
概念
前面（6-3）式
x a0 a2 2 a4 4 a6 6 ...... y a1 a33 a55 a7 7 ......
中的偏导数分别为：
x x y y da0 da6 da2 da4 2 4 6 ....... d d d d
26
将a1、a2，…值代入上式，有
2a2 4a4 3 6a2 a3 3 tg a1 a1 a12 sin sin
3
6
sin cos (5 tg 9 4 )
2 2 2 4
2
2
sin cos 2 (1 tg 2 2 )
要使上式成立，须有：
（6-5）
a2 da r 1 2 M d da3 r a4 4M d da5 r a6 6 M d
r da0 M d 1 r da2 a3 3 M d da4 r a5 5M d a1
（6-6）
12
若概括为一般形式，则有：
ak 1
1 r dak () k 1 M d
k
其中，k=0，1，2，…。 因此，高斯-克吕格投影公式的最后确定，在于求出各系数a的形式。
13
根据第三个条件，中央经线保持长度不变，有：
a0 x s Md
0

有了a0之后，其他系数可以逐个求出，分别如下：
r da0 a1 r M d r da1 r 1 a2 ( M sin ) N cos sin 2 M d 2M 2
经变换后，可以得：
y x x y /
代入前式，有：
1 x 2 y 2 1 x 2 x x y 2 [( ) ( ) ] 2 [( ) ( / ) ] 2 M r
9
化简得：
x 2 r 2 y 2 ( ) ( ) 2 M y 2 r 2 x 2 ( ) ( ) 2 M
y x
x
-dy
N
由于对取导数比较复杂，以下利用等角 条件加以变换，得：
x x r M y y r M
o
-dy
-dx F 图6-3 子午线收敛角

A’
y
y tg x
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或利用下式
x x x x d d d dx tg y y y y dy d d d
mn
即
E G M r
将E、G的偏导数形式代入wk.baidu.com得
1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 [( ) ( ) ] 2 [( ) ( ) ] 2 M r
8
由经纬线投影后仍保持正交得F=0，即
F
x x y y 0
2 2 2 2 2 2
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高斯—克吕格投影的直角坐标公式：
将以上求得的各个系数a代入前面的方程，加以整理，有：
为经差
x s
2N
2
sin cos
4N
24
sin cos3 (5 tg 2 9 2 4 4 ) ......
2 2
y N cos

3
3
sin cos 2 (1 tg 2 3 2 2 4 )
因为角甚小，按反正切函数的级数展开:
arctg (tg ) tg tg 3 tg 5 ......
27
1 3
1 5
最后整理得：
sin
3
3
sin cos 2 (1 3 2 ) ......
（6-9）
28
子午线收敛角的变化规律：
sin
3
3
sin cos 2 (1 3 2 ) ......
在同一条经线（中央经线除外）上，纬度愈高，角愈大，在赤道上=0；
在同一条纬线上，愈大，角愈大，在中央经线上=0； 随经差和纬度的增加而增大；
4
投影基本公式
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
（6-1）
5
根据第一个条件，投影函数具有对称性，在数学上即具有奇偶性。
6
x f1 ( , ) f1 ( , ) y f 2 ( , ) f 2 ( , )
根据上述条件，将投影函数展开为的幂级数：
19
长度比公式
mn
G 1 x 2 y 2 2 n [( ) ( ) ] r r
1
将（6-4）式求得的偏导数
x 2a2 4a4 3 6a6 5 ...... y a1 3a32 5a54 7 a7 6 ......