概率论 第四章 随机变量的数字特征.ppt

n

1
i1 n
1
该模型的变形问题：信封问题
第四章 大数定律 与中心极限定理
大数定律
中心极限定理
要求：1.理解切比雪夫（Chebyshev）不 等式；理解切比雪夫定理和伯努利定理。
2.理解林德伯格-列维定理（独立同分 布的中心极限定理）和棣莫弗拉普拉斯定 理（二项分布以正态分布为极限）。
§4.1 大数定律 law of large numbers
立重复试验，当p 1 2 时，成功次数的标准
差的值最大，其最大值为 5
。
分析：以 X 表示100次试验中成功的次数， 则 X ~ B(100, p), 其方差为
DX np(1 p) 100 p2 100 p
显然当
p

1 2
时，方差达到最大，最大值为25，
此时其标准差也达到最大，最大值为5。
证但明对：任(只意证的连随续机型变）量设XX2的（概不率知密其度分为布f (）x) ，，则若
EX ，DX 2 ，那么事
P{ X 概率
又 如何来} 估x计 f呢(x？)dx

件“

x
(Xx
2
)2
3 ” 的 f (x)dx

1
2
( x

)2
f
( x)dx

2 2
上式说明随机变量X 取值于开区间( ， )
的概率不小于1
2 2
，
显然方差
2
越小则1
称为一个配对，记 X 为配对的个数，球 EX
解：引入随机变量
1, 第i号球恰好装入第i号盒子, X i 0, 第i号球不是装入第i号盒子,
n
则 X X i ， X i 服从（0—1）分布，
i 1
EX i 1/ n(i 1,2,, n) ，于是
EX
n
EXi
i 1
( A) 不独立；
(B) 独立；
(C ) UV 0;
(D) UV 0.
2. 将一枚硬币重复抛掷n次，以X 和 Y 分别表示 正面向上和反面向上的次数，则 XY A 。
( A) -1
(B) 0
(C) 1 2
(D) 1
3. 设 r.v.X1, , X n (n 1) 独立同分布，且方差均为
第三章 随机变量的数字特征

离散型随机变量 EX xk pk
k 1
数
求法
连续型随机变量
EX

x f (x)dx

学 期
随机变量函数 Y g(x) Th3 1 Z g(X , Y ) Th3 2
望 性质 四条性质
方差
定义 DX E( X EX )2 求解 Th3 3 DX EX 2 (EX )2 性质 五条性质
几种常 见分布 的期望 和方差
协方差与 相关系数
协方差阵 与相关阵
定义 Def 3 5
性质 3条性质以及定理3-4 定义 求解
不相关与独立的关系以及各自判定条件
矩的定义
一、选择题
1. 设r.v.X 与 Y 独立同分布，且方差存在，记
U X Y, V X Y , 则 U 、V 必然 D 。
X2
解：（1）由条件知P( AB) P( A) P(B) ,
P( A) P(B) ，从而有
P( A B) P( A) P(B) P( AB )
2P( A) [P( A)]2 3/ 4
解得 P( A) =1/2 （其另一个解是 3/2,设去）,进 而有
P( A) P{X a}
1, X 0,
2、设 r.v.X ~ U[1, 2] ， r.v.Y 0, X 0,
求方差 DY 8 9 。
1, X 0.
3、设r.v.X 与 Y的相关系数为0.9，若Z X 0.4, 则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 。
练习 某产品的次品率为0.1，检验员每天检 验4次，每次随机的取10件产品进行检验，如发
引理（Chebyshev’s 不等式）：若r.vX 具有期
望 EX ， 方差 DX 2 ，则对于任意的 0 有
或即事若件P“PX{{X~XXN(,32)}}，”则1的22P发{生2X 几 乎是3可}以（肯（0.49定4-9-71的2），）。
2

0,
令Y

1 n
n i 1
Xi
，则下列正确的是
A
。
2
( A) Cov( X1, Y ) n ;
(B) Cov( X1, Y ) 2;
(C)
D( X1

Y
)

n
n
2

2;
(D)
D( X1
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n 1
n
2.
二、填空题
1、设一次试验成功的概率为 p ，进行100次独
而
P{X i
k}
1, 6
k
1,
, 6, i 1,
, n,
所以，
EX i

1 6
(1
6) 7 , i 1, 2
, n,
从而， EX EX1 EX 2

EX n

7 2
n.
例 将 n 只球（1~n 号）随机地放入 n 只盒子（1~n 号）中
去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号的盒子中，

a
f
( x)dx

3 8
a2
x
2dx

1 (8 8

a3)

1 2
于是得a 3 4 。
（2）
E(
1 X2
)



1 x2
f (x)dx 3 4
练习 同时掷n个骰子，求掷出的点数之和的 数学期望。
解：设 X 表示掷出的点数之和， X i 表示第i
个骰子掷出的点数，则显然有
X X1 X2 Xn
则 X ~ B(4, 0.2639), 从而得
EX np 1.0556.
思考题：设r v X 和Y 同分布， X 的概率分布为
f
(
x)

3x2 / 8，

0，
0
x 其它
2
（1）已知事件 A {X a}和 B {Y a}独立，其中
a 0且P( A B) 3 / 4，求a； （2）求 1 的数学期望。
现其中的次品数多于1，就去调整设备。以 X 表 示一天中调整设备的次数，求 EX 。（假设各个
产品是否为次品相互独立）
解：设 Y 表示抽检的10件产品中的次品数， 则 Y ~ B(10, 0.1), 从而可得次品数多于1的概率为
P{Y 1} 1 P{Y 0} P{Y 1} 0.2639,