第三章-连续时间线性定常系统时域分析-修订版-646302069word版本

第三章：连续时间线性定常系统时域分析

§3.1 系统的数学模型

LTI 系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。

R 、L 、C 上的电压与电流关系——()()~e t i t 关系模型 ♦ 电阻：

()()1

i t e t R

=

（3-1）

或

()()e t Ri t =

（3-2）

图3-1 电阻

图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压

♦ 电感：

()()()11

d p

t i t e e t L L ττ-∞=

=⎰ （3-3）

或：

()()()d

p d e t L

i t L i t t

== （3-4）

图3-4 电感上的直流不产生电压

图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流

♦ 电容：

()()()d

p d i t C

e t C e t t

== （3-5）

或：

()()()11

d p

t e t i i t C C ττ-∞=

=⎰ （3-6）

图3-7 电容上的恒压不产生电流

图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压

♦ 求和（相加）：

()()()12y t f t f t =±

（3-7）

图3-10 信号汇聚流图

♦ 分支：

()()()123f t f t f t ==

（3-8）

i(t)e(t)Cp i(t)e(t)Cp e(t)i(t)1Cp

e(t)i(t)1Cp

图3-11 信号分支流图

须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。

LTI 连续时间系统的状态空间模型： 例1：如图3-12电路

求：（1）()()y t v t ，（2）()()()12x t x t v t 、 解：列回路电流、电压方程：

()()()()()()()()()()()()()()()()()12122231221233421

220302v t i t i t x t i t x t i t i t x t x t i t i t x t i t y t i t =-⎧

⎪

=⎪

⎪=-⎪

⎨

⎪++-=⎪

-=⎪

⎪=⎩

消去i 1、i 2、i 3，得下列方程：

()()()()()()()()()11221211122203200 3x t x t v t x t x t x t y t v t x t ⎧--⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎡⎤⎪=+⨯⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩

状态方程

观测方程

图3-12 例1电路图

♦

定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 • 物理上，状态的维数dim (t ) = 系统中独立储能元件的个数 •

状态的选取可以不唯一 ♦

状态空间模型：

A B n n n r t t t t ⨯⨯()=()+()() （状态方程） （3-9）

C D m n m r t t t t ⨯⨯()=()+()() （观测方程/输出方程） （3-10）

其中， (t ) = [][]2120()()()T

r r v t v t v t L t t α∈，，……，，，为输入向量（r 维）

(t ) = [][]2120()()()T

n n x t x t x t L t t α∈，，……，，，为状态向量（n 维）

(t ) = [][]2120()()()T

m m y t y t y t L t t α∈，，……，，，为输出向量（m 维）

(t ) =[]1

2()()()T

n x t x t x t '''，，……，

图3-13 系统的状态空间模型

♦

方程的解为：

(t ) = e A t (0) +

t

A(t-)0

e τ⎰

B (τ) d τ （3-11）

(t ) = C e A t (0) +

t 0

[⎰

C A(t-)e τB +

D ()]t δτ- (τ) d τ （3-12）

若 (t )、 (0)已知，则 (t )、 (t )确定。

注：（3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应； （3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。 LTI 系统的微分方程模型：

具有n 个独立储能元件的单输入单输出（SISO ）系统，输出输入关系为：

(

)

()()()()()()()()()()()()()()()110110110110......n n m m n m m y t a y t a y t a y t b v t b v t b v t b v t ----++++=++++

已知输入 (t )、输出初值()()()100n y y -、……、，求y (t ) = ？ 求解步骤：

（1）求齐次解：由微分方程列特征方程11100n n n a a a ααα--++++=，求出n 个特

征根1,

,i i n α=，，则齐次解为()1i n

t

h i

i y t Ae α==∑，有n 个待定系数1,,i A i n =，；对于

k 重根1α，其所对应的齐次解为()()

111

k

t k i

i i y t At e k α-==∑

，。有 项 （2）求特解，根据输入信号形式确定；其中待定系数可将特解带入原微分方程通

过同类函数对应系数相等来求得。