复合材料层合板的刚度与强度分析-buaa

N
x

Ny

N
xy

A11

A12
A16
A12 A22 A26
A16 A26 A66

ε ε γ
0 x
0 y
0 xy

+

B11 B12 B16
B12 B22 B26
B16 B26 B66

k k k
x y xy

M M M
x y xy

=

B11 B12 B16
B12 B22 B26
B16 B26 B66

ε ε γ
0 x
0 y
0 xy

+

D11 D12 D16
aQ=22
1
E2
−ν12ν
21
,
Q=16
Q=26
0, Q=66
G12
单层板的刚度
计算拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度得：
= A11 Q= 11t, aaaaaaaaD11 Q11t3 12 = A12 Q= 12t, aaaaaaaaD12 Q12t3 12
= A22 Q22= t, aBij 0= , aD22 Q22t3 12 = A66 Q= 66t, aaaaaaaaD66 Q66t3 12
k
QQ1121
Q12 Q22
Q16 Q26
Q16 Q26

ε ε
0 x
0 y


+
k
x
z ky

Q66
k
γ
0 xy

k
xy

虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Qij 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
∂y ∂x
中面的曲率为：
k
x

ky =
k
xy

a
∂2w ∂x2

− a
∂2w ∂y 2

2
∂2w

∂x∂y
其中 kxy 为中面扭曲率
经典层合板理论
第 k 层应力为：
σ

x

σ y
τ
xy
aaa= aaaA12 ν A= , aaBij 0= , aaD12 ν D
= aaaaaaA66
1= −2ν A, aaaaD66
1−ν D
2
aaaaaaA=16 A=26 0, aaaD=16 D=26 0
单层板的刚度
可得各向同性单层板的内力-应变关系：

N
x

Ny

N
xy
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx , N y , Nxy 及合力矩 M x , M y , M xy （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：

N
x

Ny

N
xy

h
2
σ

x

∫= −h 2 τσxyy dz
N A B ε 0
M

=

B
D
k

式中的 ε 0 为层合板的中面应变列阵，k 为曲 率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层 合板的物理方程
经典层合板理论
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
ε 0 A′ B′ N
k

=

B′T
zk zk −1
ε ε γ
0 x
0 y
0 xy
zdz
+
zk zk −1
k k k
x y xy
z
2
dz

经典层合板理论
注意到
ε
0 x
,
ε
0 y
,
γ
0 xy
,
kx
,
k
y
和 kxy 不是
z
的函数，而是中
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板
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[0/45/90/-45/0]
对称层合板 偶数层 奇数层
具有连续重复铺层 具有连续正负铺层
[0/90]S [0/45/90]S [02/90]S [0/±45/90]
有多个子层合板构成的层合板 [0/90]2
N
(Qij )k (zk2= − zk2−1)
=k 1
(Qij
)k
tk
zk
∑ ∑ = = Dij 13 kN1
N
(Qij )k (zk3= − zk3−1)
=k 1
(Qij
)k
(tk
zk2
+
tk3 ) 12
单层板的刚度
得：
A11=
A22=
A=
Et
1−ν
2
,
D11=
D12=
D=
Et 2
12(1−ν 2 )
（1）各向同性单层板
各向同性材料有两个独立的弹性常数，各
方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松
比分别为：E,ν
Q11
=
E1
1 −ν12ν 21
根据折减刚度
= Q12
= ν12 E2 1 −ν12ν 21
矩阵计算公式
Q22
=
E2
1 −ν12ν 21
Q66 = G12
ν 21E1 1 −ν12ν 21
=k 1
(Qij
)
k
tk
zk
∑ ∑ = = Dij 13 kN1
N
(Qij )k (zk3= − zk3−1)
=k 1
(Qij
)k
(tk
zk2
+
tk3 ) 12
其中 t=k zk − zk−1 为第 k 层的厚度，z 是第 k
层中心的坐标值 zk
=zk −1
+
1 2
(zk
−
zk −1 )
=1 2
一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦 合刚度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起， 即拉弯耦合，此外，由于 A16, A26 的存在产生 拉剪耦合，由于 D16, D26 的存在产生弯扭耦合
2. 单层板的刚度
各向同性单层板 特殊正交各向异性单层板 一般正交各向异性单层板
单层板的刚度

kxy

Et 3
12(1−ν 2 )

2
显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应
单层板的刚度
（2）特殊正交各向异性单层板 这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折
减刚度矩阵中元素的计算结果为：
= Q11
1−νE112= ν 21 , Q12
= ν12 E2 1−ν12ν 21
ν 21E1 1−ν12ν 21
γ
0 xy

kxy

等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
∂u0

ε ε γ
0 x
0 y
0 xy

=
∂x
aa
∂v0 ∂y

∂u0
+
∂v0

(zk
+
zk −1 )
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
D′
M

A′ = A−1 + A−1B(D − BA−1B)−1 BA−1

式中：

B′ = −( A−1B)(D − BA−1B)−1 D=′ (D − BA−1B)−1
经典层合板理论
上式中的子矩阵 A′, B′, D′ 分别称为面内柔度矩 阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵B′ 与矩阵 B′T 是相互转置的，但未必对称
织物构成的层合板
[(±45)/(0,90)]
混杂纤维层合板 夹层板
[0C/45K/90G] [0/90/C5]S
层合板分类-按单层板相对于中面的位置
对称层合板：
铺设角相同 θ(z) =θ(-z)
非对称层合板
材料相同 Qij(z) =Qij(-z)
反对称层合板 θ(z) =-θ(-z) 一般层合板

∂=v ∂y
∂v0 − z ∂2w ∂y ∂y2

γ

xy
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
=
( ∂u0 ∂y
+
∂v0 ) − 2z ∂x
∂2w ∂x∂y
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
ε

x

= ε y
γ
xy

ε ε
0 x
0 y


+
kx z ky

Qij(z) =Qij(-z)
夹芯层合板
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： = γ yz 0= ,γ zx 0
∑ ∫N
k =1
zk zk −1
σ

x
σ y
τ xy
dz
M
x

M y
M
xy

h
2
σ

x

∫= −h 2 τσxyy zdz
∑ ∫N
k =1
zk zk −1
σ

x
σ y
τ xy
zdz
经典层合板理论
上式中的 zk , zk−1 可由下图确定：
D12 D22 D26
D16 D26 D66

k k k
x y xy

经典层合板理论
∑ ∑ 式中： N
N
= Aij
(Qij )k (zk −= zk−1)
(Qij )k tk
=k 1=k 1
∑ ∑ = = Bij 12 kN1
N
(Qij )k (zk2= − zk2−1)
单层板的刚度
将弹性模量和泊松比代入上式中可得：
Q=11
Q=22
E
1−ν
2
,
Q=12
νE 1−ν
2
, Q=66
E
2(1 +ν
)
,
Q=16
Q=26
0
设板厚为 t ，代入下式：
∑ ∑
N
N
= Aij
(Qij )k (zk −= zk−1)
(Qij )k tk
=k 1=k 1
∑ ∑ = = Bij 12 kN1
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件
层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法 经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志
等法线假设： ε z = 0 平面应力假设： σ z = 0； τ xz =0；τ yz =0 忽略正应力假设：σ z = 0
经典层合板理论
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t
经典层合板理论
板中任意一点的位移分量 u, v 和 w 可表达为：
u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) w = w(x, y, z)
经典层合板理论
由直法线和等法线假设= γ yz 0,= γ zx 0= ,ε z 0：
= ε z

∂=w ∂z
0
γ zx

=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
=0
γ zy

= ∂v ∂z
+
∂w ∂y
=0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：

w = w(x, y)
= u
0 x
0 y
0 xy
dz
+
zk zk −1
k k k
x y xy
zdz

∑

M
x
M y
=
N
QQ1121

M
xy

k =1 Q16
Q12 Q22 Q26
∫ ∫ Q16
Q26 Q66





ν= AA νAA 00 εε xy00 aaaA
0
0
1−ν
A
γ
0 xy

Et
1−ν 2

2

M
x

M y

M
xy



ν= DD νDD 00 kkxy aaaD
0
0
1−ν
D
A=16 A=26 0, aaaaaaD=16 D=26 0
单层板的刚度
内力-应变关系为：
u0
(
x,
y)
−
z
∂w( x, ∂x
y
)
= v
v0
(
x,
y)
−
z
∂w( x, ∂y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：

ε=x

∂=u ∂x
∂u0 ∂x
−
z
∂2w ∂x2
ε=y
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：

N
x

Ny

N
xy

∑N QQ1121
k =1 Q16
Q12 Q22 Q26
∫ ∫ Q16
Q26 Q66


zk zk −1
ε ε γ