空间几何证明举例

空间几何证明举例
1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.
（1）证明：PA//平面EDB ； （2）证明：BP ⊥平面EFD ；
[对症下药]（1）如图，连接AC 、AC 交BD 于O ，连接EO 。

∵底面ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，在△PAC 中，EO
是中位线，∴PA//EO ，又EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以PA//平面EDB ；
（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又EF ⊥PB ，∴DF ⊥PB ，又PB ⊥EF ，∴PB ⊥平面DEF ；
（3）由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。

由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB ，设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ，BD=2a ，PB=
3
a ，PC=2a,DE=21
PC=
a 2
2
,在Rt △
PDBk ,OF=a PB BD PD 3
6
=∙.在Rt △EFD 中，sin ∠
EFD=
2
3
=DF DE ,∴∠EFD=.3
π
所以二面角C —PB —D 的大
小为.3
π
2.（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a ，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。

（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由；
（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明。

[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。

[对症下药]（1）∵AD ∥面EFGH ，面ACD ⋂面EFGH=HG ，∴AD ∥HG ，同理EF ∥AD ，所以HG ∥EF ，同理EH ∥FG ，∴EFGH 为平行四边形。

又A —BCD 为正三棱锥，∴A 在底面BCD 上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，根据三垂线定理，AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 为矩形；
（2）作CP ⊥AD 于P 点，连接BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP ，∴HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，又HG ⊂面EFGH ，∴面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=a, ∴AP=
a 2
3. 专家会诊
解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a ∥α则过a 作一平面β，使β⋂α=b ，再证a ∥b ；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。

线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。

空间角
1．（典型例题）如图10-8，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2
3
，M 、N 分别为AB 、SB
的中点。

（1）证明：AC ⊥SB ；
（2）求二面角N —CM —B 的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离。

[专家把脉] 求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就
是便于计算。

[对症下药] （1）如图10-9，取AC 中点D ，连接SD ，DB ，∵SA=SC ，AB=BC ，∴AC ⊥SD ，且AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面SDB 。

又SB ⊂ 平面SDB ，
∴AC ⊥SB 。

（2）取BD 的中点E ，连接NE ，过E 作EF ⊥CM 于F ，连续NF ，∵平面SAC ⊥平面ABCD ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥面ABCD ，又N 、E 分别为SB 、BD 的中点，∴NE ∥SD ，NE ⊥面ABC ，又EF ⊥CM ，∴NF ⊥CM ，∴∠NFE 为二面角N —CM —B 的平面角。

NE=2
1SD=2，在正△ABC 中，由平面几何知识可求得EF=4
1MB=2
1，在Rt △NEF 中，tan ∠NEF=
22=EF EN
,∴二面角N —CM
B 的大小是arctan22；
（3）在Rt △NEF 中，NF=,2
322=+EN EF ∴S △CMN =2
1CM ·NF=
323，S △CMB =2
1
BM ·CM=23.设点B 到平面CMN 的距离为h,
∵V B —CMN =VN-CMB,NE ⊥平面CMB ，∴3
1
S △CMN ·h=3
1S △CMB ·NE ，∴h=.3
2
4即点B 到平
面CMN 的距离为
3
24。

2．（典型例题）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1。

（1）求二面角C —DE —C 1的正切值
（2）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值。

[对症下药] 正解一：（1）如图过C 作CG ⊥DE ，垂足为G ，连接C 1G 。

∵CC 1⊥平面ABCD ，∴CG 是C 1G 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理得DE ⊥C 1G 。

∴∠CGC 1是二面角C —DE —C 1的平面角。

在△ADE 中，AE=AD=3，∠DAE=90°，∴∠ADE=45°，得∠
CDG=45°，∴CG=CD ·sin ∠CDG=2.2 ∴tan ∠CGC 1=
.2
2
1=CG CC ∴二面角C —DE —C 1的正切值为2
2
（2）延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连接DE 1有D 1C 1∥E 1E ，D 1C 1=E 1E ，∵四边形D 1E 1EC 1
是平行四边形。

∴E 1D 1∥EC 1，于是∠E 1D 1F 为EC 1与FD 1所成的角。

在Rt △BE 1F 中，E 1F=
26
，在Rt △D 1DE 1中，D 1E 1=14，在Rt △D 1DF 中，
FD 1=24，所以在△E 1FD 1中，由余弦定理得：cos ∠E 1D 1F=
.14
2124
142262414=⨯⨯-+ 正解二：（1）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0)、D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）C1（4，3，2）于是DE =（3，-3，0），1EC =(1,3,2),1FD =(-4,2,2).设向量n =(x,y,z)为平面C 1DEA 的法向量,则有EG n DE n ⊥⊥,,得x=y=-z 2
1
,令x=1,得n =(1,1,-2),向量1AA =(0,0,2)与平面CDE 垂直, 所与1AA n ∴成的角θ为二面角C —DE —C 1的平面角。

;2
2tan ,36|
|||cos =∴=
∙=
θθAA n （2）设EC1与FD1所成的角为β，则cos β.14
2111=
1 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，现沿AC 折成二面角D —AC —B ，使BD 为异面直线AD 、BC 的公垂线。

（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；
答案：解：(1)∵AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，∴BC ⊥AD ，又BC 上BD ，∴BC ⊥平面ABD ，而BC ⊂平面ABC ，故面ABD ⊥面ABC ． （2）a 为何值时，二面角D —AC —B 为45°；
答案：∵面ABD 上面ABC ，作DE ⊥AB 于E ，则DE ⊥平面ABC ，作EF ⊥AC 于F ，由三垂线定理有AC ⊥DF ，∴∠DFE 为二面角D---AC--B 的平面角．在Rt △ADC 中，AD 2=AF ．AC ，
∴AF=
1
2
2+a a 又Rt △AFE ∽Rt △ABC ， ∴
EF=
.2
8,22
,cos ,,1
4
222
=∴=∴=∠∆+=∙a a DF EF DFE DEF Rt a a AB
BC
AF 中在
（3）a 为可值时，异面直线AC 与BD 所成的角为60°。

答案：作BM ⊥AC 于M ，过点O 作BN ∥AC 与FE 的延长线交于点，则BMFN 为矩形，且BN ⊥DN ．∴∠DBN 为异面直线AC 与BD 所成的角．∵MF=AC-2AF=
,1,1
1222a BD BN a a -==+-
∴又在Rt △BND 中cos ∠DBN=
,BD
BN
.5
15,1112
12
22=
-∙+-=∴a a a a 解得。