第3章 确定性推理-1
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小写字母x,y,z,u,v,w，表示非特定的事物或概念； 函数符号 (Function Symbol) ：通常以小写字母或 小写字母串表示； 谓词符号(Predicate Symbol)：通常以大写字母或
大写字母串表示。
12
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
连接词 Connectives
否定～（Negation, ‘not…’） 合取∧（Conjunction, ‘… and …’） 析取∨（Disjunction, ‘…or…’）
蕴含 （Conditional, ‘if …then…’）
等价 （Biconditional, ‘…if and only
序组合起来，得到一个看似惊人的，却是意料当中的结论
1
推理的分类
１. 从新判断推出的途径来划分： 演绎推理、归结推理、类比推理
演绎推理——从全称判断推导出特称判断或单称判断的过程 ，即由一般性知识推出适合于某一具体情况的结论。这是一 种从一般到个别的推理。 演绎推理有多种形式，经常用的是三段论式，它包括：
1) 大前提，这是已知的一般性知识或假设；
2) 小前提，这是关于所研究的具体情况或个别事实的判断； 3) 结论，这是由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断。
2
推理的分类
例如：
1) 足球运动员的身体都是强壮的；—大前提
2) 高波是一名足球运动员；—小前提 3) 所以，高波的身体是强壮的。—结论
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
在谓词逻辑中使用的符号一般包括： 标点符号及括号(Punctuation, Bracket)；
常量 (Constant) ：以小写字母组成的符号串，用来
表示特定的事物或概念(个体)；
变量符号(Variable Symbol)：习惯上是字母表中的
deductive reasoning principle inductive reasoning analogical reasoning certainty reasoning certainty degree uncertainty reasoning monotonic reasoning growing relation non-monotonic reasoning forward reasoning direction backward reasoning hybrid reasoning
命题逻辑表达能力弱，能解决的问题不多； 二阶逻辑过于复杂，且到目前为止不存在有效的算法。 在人工智能中常用的还是一阶谓词逻辑，因此本章介绍 17 的内容主要针对一阶谓词逻辑。
3.1.2谓词演算公式(Predicate calculus formula)
不含任何连接词及量词的谓词公式，是谓词演
6
推理的分类
4. 根据推理的方向划分：
正向推理：从已知事实出发、正向使用推理规则的
推理方式。数据驱动
反向推理：以目标为出发点，反向运用推理规则的
推理方式。目标驱动 混合推理：正向推理与反向推理结合起来的推理方 式。
7
小结：推理的分类
by by Reasoning by by
例：
(x) (P(x) ∨ (y)R(x, y)) (x) Q(x, y)
20
3.1.3 谓词公式的解释 The interpretation of WFF
与命题类似，每个谓词及公式也都有由人赋予的 一定的语义(含义)，但从谓词及公式本身却无法推出 其语义。因此，在应用谓词逻辑解决问题时，必须 对谓词公式进行解释，即人为地给谓词公式指派一 定的语义。 定义：设 D为谓词公式 P的个体域，若对 P中的个体常 量、函数和谓词按如下定义赋值：
15
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
例3.1 用谓词S(x)表示个体x学习好，W(x)表示x工作好；
谓词公式S(x)∧W(x)表示x不仅学习好而且工作好，S(y)∧～ W(y)表示y的学习好但工作不好；
谓词公式z Computer(z)→CPU(z)表示所有的计算机(个体 z)都有CPU。
在任何情况下，由演绎推理导出的结论都是蕴含在大前提的 一般性知识中的。因此，只要大前提和小前提是正确的，则 由它们推导出来的结论也必然是正确的。 演绎推理是人工智能中的一种重要推理方式，在直到目前研 制成功的各类智能系统中，大多是用演绎推理实现的。
3
推理的分类
归结推理：从足够多的事例中归结出一般性结论的推理过程 ，是一种从个别到一般的推理。归结推理又分为：
if…’）
14
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
量词 Quantifier
全称量词（Universal quantifier） ： 表示所有 的。例如，对于个体域中所有个体x，谓词F(x)均 成立时，可用含全称量词的谓词表示为 x (F(x)) 存在量词(Existential quantifier) ，表示存在 某一些。例如，若存在某些个体x，使谓词F(x)成 立时，可用含存在量词的谓词表示为 x (F(x)) 利用上述符号，可把单个谓词组合成复杂的谓词公 式来表达复杂的领域知识。
定 义 ： 谓 词 演 算 的 合 式 公 式 (Well Formed Formula，简称公式或WFF) ： (1)谓词演算的原子公式是公式。 (2)若A是公式，则～A也是公式。 (3)若A, B是公式，则A∧B, A∨B, A B, A B，也都是公式。 (4)若A是公式，x是个体变量，则 x(A)， x(A) 也是公式。 (5)只有按(1)—(4)所得才是合式公式。
例3.2 设有三个积木块a，b，c，它们之间的位置关系可用下 列谓词表示:
ON(a,b)表示a在b之上； ON(b,c)表示b在c之上； ON(a,b) ON(b,c) ON(a,c)表示a在b之上且b在c之上，则a在c 之上。
16
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
若量词仅对谓词的个体(变量)而不能对谓词自身起
限定作用，即把谓词名视为常量时，称其为一阶谓 词； 若量词不仅对个体，而且对谓词自身起限定作用 ，称其为高阶谓词。 例如: P(Q（x） P)，Qy Q(y)均为二阶谓词 xyP(x,y)是含有两个自由变元的一阶谓词。 经典逻辑中最重要的几类逻辑是命题逻辑、谓词逻 辑和二阶逻辑。
9
3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
命题逻辑虽然可以用来表示知识，但它存在较大的
局限性，它无法把所描述的客观事务的结构及逻辑
特征反映出来，也不能把不同事务的共同特征表示 出来。 例如，张三是李四的老师； 贝多芬是作曲家 柴可夫斯基是作曲家
完全归结：指在进行归结时考察了相应事物的全部对象，并根据这些 对象是否都有某种属性，从而推出这种事物是否具有这个属性。
• 例如: 某厂进行产品质量检查，如果对每一件产品都进行了严格检查， 并且是合格的，则推导出结论该厂的产品是合格的。
不完全归结：指只考察了相应事物的部分对象，就得出了结论。
类比推理：根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出 他们的其他属性也相同的推理。
为P的每个常量指派D中的一个元素； 为P的每个n元函数指派一个Dn到D的映射； 为P的每个n元谓词指派一个Dn到{T, F}的映射 其 中 ， Dn 是 D 的 元 素 组 成 的 n 元 组 集 合 , 表 示 为 Dn={(x1,x2,…… xn)|x1,……,xnD} 则这些指派为公式P在D上的一个解释。
例子： x P(x) ∨R(y)
连接词的优先级次序： ~，∧, ∨,
19
3.1.2谓词演算公式 (Predicate calculus formula)
量词的辖域
在一个公式中，如果有量词出现，位于量词后面的单个谓 词或者用括号括起来的合式公式称为量词的辖域
约束变元
在辖域内与量词中同名的变元称为约束变元 不受约束的变元称为自由变元
算 的 基 本 公 式 ， 称 为 原 子 公 式 (Atom
formula)。
由n元谓词F及n个个体变量x1, x2, …… xn所构 成的公式F(x1, x2, ……, xn)是一个原子公式。 是一个原子公式。 在谓词演算中包含命题演算，所以命题变量也
18
3.1.2谓词演算公式 (Predicate calculus formula)
21
3.1.3 谓词公式的解释 The interpretation of WFF
例3.3 设个体域D={1,2}，求公式B=(x)（ P(x)→Q(f(x),b)）在D 上的某一个解释，并指出公 式B在此解释下的真值。
解：设对个体常量b，函数f(x)指派的值分别为： b=1, f(1)=2, f(2)=1 对谓词指派的真值为： P(1)=F, P(2)=T，Q(1,1)=T, Q(2,1)=F 由于已指派b=1，所以Q(1,2)与Q(2,2)不可能出现，故没有给 它们指派真值。 上述指派就是对公式B的一个解释。 在此解释下，对个体域D中的所有x均有 P(x) → Q(f(x),b)的真值为T。所以公式B在此解释下 的真值为T。
8
3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
命题：
能够分辨真假的语句称做命题；
一般情况下，只有陈述句才可能是命题。
原子命题：
不能进一步分解成更简单语句的命题，原子 命题是命题中的基本单位，一般用大写字母表示。 命题公式： 原子命题用连接符号联系起来组成的公式
10
3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
谓词：
带有变量(参数)的命题称为谓词。
谓词：能够描述个体之间的关系或属性。
以谓词为基础的谓词演算是一种形式语言，可严密
而精确地表达复杂的人类知识，并作为演绎推理的 重要基础。
11
如：声和光 —直线传播、反射、折射，声具有波动性质，推出光也 有波动性质
阳光：紫外线
A 电脑：辐射，
（公务员考试，根据给出词语选出答案）
B 海水：氯化钠， C 混合物：纯净物， D 微波炉：电磁炉
4Hale Waihona Puke 推理的分类 ２. 按推理时所用知识的确定性来划分：
确定性推理—— 指推理时所用的知识都是精确的，
什么是推理
(1) 什么是推理
推理——从已知事实出发，通过运用已掌握的知识
，找出其中蕴含的事实，或归结出新的事实，这一
过程称为推理。
推理机——在人工智能中，推理是由程序实现的， 称为推理机。 推理的基本任务：是从一种判断推出另一种判断。
推理最大的作用: 把一些看似不相干的事实按照一定的顺
推出的结论也是确定的，其真值或为“真”，或为
“假”，没有第三种情况出现。下面将要讨论的经
典逻辑推理就属于这一类。 不确定性推理——指推理时所用的知识不都是精确 的，推出的结论也不完全是肯定的，其真值位于“ 真”和“假”之间。
5
推理的分类
3. 按推理过程中推出的结论是否单调的增加来划分：
单调推理——指在推理过程中随着推理的向前推进及新知识 的加入，推出的结论呈单调增加的趋势，并且越来越接近最 终目标，在推理过程中不会出现反复的情况，即不会由于新 知识的加入而否定了前面推出的结论，使推理又退回到前面 的一步。 非单调推理——指在推理过程中由于新知识的加入，不仅没 有加强已推出的结论，反而要否定它，使得推理退回到前面 的某一步，重新开始。
函数与谓词的形式分别为: 谓词P(x1,x2,…,xn)
函数f(x1,x2,…,xn)
x1,x2,…, xn为个体变量，
谓词用来表达 n 个实体之间的关系或属性，其取值
为T(真)或F(假)； 函数仅实现个体域中 n 个个体到某一个体的映射， 没有真假取值。
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
大写字母串表示。
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
连接词 Connectives
否定～（Negation, ‘not…’） 合取∧（Conjunction, ‘… and …’） 析取∨（Disjunction, ‘…or…’）
蕴含 （Conditional, ‘if …then…’）
等价 （Biconditional, ‘…if and only
序组合起来，得到一个看似惊人的，却是意料当中的结论
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推理的分类
１. 从新判断推出的途径来划分： 演绎推理、归结推理、类比推理
演绎推理——从全称判断推导出特称判断或单称判断的过程 ，即由一般性知识推出适合于某一具体情况的结论。这是一 种从一般到个别的推理。 演绎推理有多种形式，经常用的是三段论式，它包括：
1) 大前提，这是已知的一般性知识或假设；
2) 小前提，这是关于所研究的具体情况或个别事实的判断； 3) 结论，这是由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断。
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推理的分类
例如：
1) 足球运动员的身体都是强壮的；—大前提
2) 高波是一名足球运动员；—小前提 3) 所以，高波的身体是强壮的。—结论
3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
在谓词逻辑中使用的符号一般包括： 标点符号及括号(Punctuation, Bracket)；
常量 (Constant) ：以小写字母组成的符号串，用来
表示特定的事物或概念(个体)；
变量符号(Variable Symbol)：习惯上是字母表中的
deductive reasoning principle inductive reasoning analogical reasoning certainty reasoning certainty degree uncertainty reasoning monotonic reasoning growing relation non-monotonic reasoning forward reasoning direction backward reasoning hybrid reasoning
命题逻辑表达能力弱，能解决的问题不多； 二阶逻辑过于复杂，且到目前为止不存在有效的算法。 在人工智能中常用的还是一阶谓词逻辑，因此本章介绍 17 的内容主要针对一阶谓词逻辑。
3.1.2谓词演算公式(Predicate calculus formula)
不含任何连接词及量词的谓词公式，是谓词演
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推理的分类
4. 根据推理的方向划分：
正向推理：从已知事实出发、正向使用推理规则的
推理方式。数据驱动
反向推理：以目标为出发点，反向运用推理规则的
推理方式。目标驱动 混合推理：正向推理与反向推理结合起来的推理方 式。
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小结：推理的分类
by by Reasoning by by
例：
(x) (P(x) ∨ (y)R(x, y)) (x) Q(x, y)
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3.1.3 谓词公式的解释 The interpretation of WFF
与命题类似，每个谓词及公式也都有由人赋予的 一定的语义(含义)，但从谓词及公式本身却无法推出 其语义。因此，在应用谓词逻辑解决问题时，必须 对谓词公式进行解释，即人为地给谓词公式指派一 定的语义。 定义：设 D为谓词公式 P的个体域，若对 P中的个体常 量、函数和谓词按如下定义赋值：
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
例3.1 用谓词S(x)表示个体x学习好，W(x)表示x工作好；
谓词公式S(x)∧W(x)表示x不仅学习好而且工作好，S(y)∧～ W(y)表示y的学习好但工作不好；
谓词公式z Computer(z)→CPU(z)表示所有的计算机(个体 z)都有CPU。
在任何情况下，由演绎推理导出的结论都是蕴含在大前提的 一般性知识中的。因此，只要大前提和小前提是正确的，则 由它们推导出来的结论也必然是正确的。 演绎推理是人工智能中的一种重要推理方式，在直到目前研 制成功的各类智能系统中，大多是用演绎推理实现的。
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推理的分类
归结推理：从足够多的事例中归结出一般性结论的推理过程 ，是一种从个别到一般的推理。归结推理又分为：
if…’）
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
量词 Quantifier
全称量词（Universal quantifier） ： 表示所有 的。例如，对于个体域中所有个体x，谓词F(x)均 成立时，可用含全称量词的谓词表示为 x (F(x)) 存在量词(Existential quantifier) ，表示存在 某一些。例如，若存在某些个体x，使谓词F(x)成 立时，可用含存在量词的谓词表示为 x (F(x)) 利用上述符号，可把单个谓词组合成复杂的谓词公 式来表达复杂的领域知识。
定 义 ： 谓 词 演 算 的 合 式 公 式 (Well Formed Formula，简称公式或WFF) ： (1)谓词演算的原子公式是公式。 (2)若A是公式，则～A也是公式。 (3)若A, B是公式，则A∧B, A∨B, A B, A B，也都是公式。 (4)若A是公式，x是个体变量，则 x(A)， x(A) 也是公式。 (5)只有按(1)—(4)所得才是合式公式。
例3.2 设有三个积木块a，b，c，它们之间的位置关系可用下 列谓词表示:
ON(a,b)表示a在b之上； ON(b,c)表示b在c之上； ON(a,b) ON(b,c) ON(a,c)表示a在b之上且b在c之上，则a在c 之上。
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL
若量词仅对谓词的个体(变量)而不能对谓词自身起
限定作用，即把谓词名视为常量时，称其为一阶谓 词； 若量词不仅对个体，而且对谓词自身起限定作用 ，称其为高阶谓词。 例如: P(Q（x） P)，Qy Q(y)均为二阶谓词 xyP(x,y)是含有两个自由变元的一阶谓词。 经典逻辑中最重要的几类逻辑是命题逻辑、谓词逻 辑和二阶逻辑。
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3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
命题逻辑虽然可以用来表示知识，但它存在较大的
局限性，它无法把所描述的客观事务的结构及逻辑
特征反映出来，也不能把不同事务的共同特征表示 出来。 例如，张三是李四的老师； 贝多芬是作曲家 柴可夫斯基是作曲家
完全归结：指在进行归结时考察了相应事物的全部对象，并根据这些 对象是否都有某种属性，从而推出这种事物是否具有这个属性。
• 例如: 某厂进行产品质量检查，如果对每一件产品都进行了严格检查， 并且是合格的，则推导出结论该厂的产品是合格的。
不完全归结：指只考察了相应事物的部分对象，就得出了结论。
类比推理：根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出 他们的其他属性也相同的推理。
为P的每个常量指派D中的一个元素； 为P的每个n元函数指派一个Dn到D的映射； 为P的每个n元谓词指派一个Dn到{T, F}的映射 其 中 ， Dn 是 D 的 元 素 组 成 的 n 元 组 集 合 , 表 示 为 Dn={(x1,x2,…… xn)|x1,……,xnD} 则这些指派为公式P在D上的一个解释。
例子： x P(x) ∨R(y)
连接词的优先级次序： ~，∧, ∨,
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3.1.2谓词演算公式 (Predicate calculus formula)
量词的辖域
在一个公式中，如果有量词出现，位于量词后面的单个谓 词或者用括号括起来的合式公式称为量词的辖域
约束变元
在辖域内与量词中同名的变元称为约束变元 不受约束的变元称为自由变元
算 的 基 本 公 式 ， 称 为 原 子 公 式 (Atom
formula)。
由n元谓词F及n个个体变量x1, x2, …… xn所构 成的公式F(x1, x2, ……, xn)是一个原子公式。 是一个原子公式。 在谓词演算中包含命题演算，所以命题变量也
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3.1.2谓词演算公式 (Predicate calculus formula)
21
3.1.3 谓词公式的解释 The interpretation of WFF
例3.3 设个体域D={1,2}，求公式B=(x)（ P(x)→Q(f(x),b)）在D 上的某一个解释，并指出公 式B在此解释下的真值。
解：设对个体常量b，函数f(x)指派的值分别为： b=1, f(1)=2, f(2)=1 对谓词指派的真值为： P(1)=F, P(2)=T，Q(1,1)=T, Q(2,1)=F 由于已指派b=1，所以Q(1,2)与Q(2,2)不可能出现，故没有给 它们指派真值。 上述指派就是对公式B的一个解释。 在此解释下，对个体域D中的所有x均有 P(x) → Q(f(x),b)的真值为T。所以公式B在此解释下 的真值为T。
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3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
命题：
能够分辨真假的语句称做命题；
一般情况下，只有陈述句才可能是命题。
原子命题：
不能进一步分解成更简单语句的命题，原子 命题是命题中的基本单位，一般用大写字母表示。 命题公式： 原子命题用连接符号联系起来组成的公式
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3.1 一阶谓词逻辑基础 Basics of First Order Predicate Logic
谓词：
带有变量(参数)的命题称为谓词。
谓词：能够描述个体之间的关系或属性。
以谓词为基础的谓词演算是一种形式语言，可严密
而精确地表达复杂的人类知识，并作为演绎推理的 重要基础。
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如：声和光 —直线传播、反射、折射，声具有波动性质，推出光也 有波动性质
阳光：紫外线
A 电脑：辐射，
（公务员考试，根据给出词语选出答案）
B 海水：氯化钠， C 混合物：纯净物， D 微波炉：电磁炉
4Hale Waihona Puke 推理的分类 ２. 按推理时所用知识的确定性来划分：
确定性推理—— 指推理时所用的知识都是精确的，
什么是推理
(1) 什么是推理
推理——从已知事实出发，通过运用已掌握的知识
，找出其中蕴含的事实，或归结出新的事实，这一
过程称为推理。
推理机——在人工智能中，推理是由程序实现的， 称为推理机。 推理的基本任务：是从一种判断推出另一种判断。
推理最大的作用: 把一些看似不相干的事实按照一定的顺
推出的结论也是确定的，其真值或为“真”，或为
“假”，没有第三种情况出现。下面将要讨论的经
典逻辑推理就属于这一类。 不确定性推理——指推理时所用的知识不都是精确 的，推出的结论也不完全是肯定的，其真值位于“ 真”和“假”之间。
5
推理的分类
3. 按推理过程中推出的结论是否单调的增加来划分：
单调推理——指在推理过程中随着推理的向前推进及新知识 的加入，推出的结论呈单调增加的趋势，并且越来越接近最 终目标，在推理过程中不会出现反复的情况，即不会由于新 知识的加入而否定了前面推出的结论，使推理又退回到前面 的一步。 非单调推理——指在推理过程中由于新知识的加入，不仅没 有加强已推出的结论，反而要否定它，使得推理退回到前面 的某一步，重新开始。
函数与谓词的形式分别为: 谓词P(x1,x2,…,xn)
函数f(x1,x2,…,xn)
x1,x2,…, xn为个体变量，
谓词用来表达 n 个实体之间的关系或属性，其取值
为T(真)或F(假)； 函数仅实现个体域中 n 个个体到某一个体的映射， 没有真假取值。
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3.1.1谓词逻辑的符号体系 Symbol System of FOL