2.1 线性规划问题的标准型

非标准型转化举例（一）
max z = 70 x1 + 120 x2 ì 9 x + 4 x £ 360 1 2 ï ï 4 x1 + 5 x2 £ 200 s.t. í ï 3x1 + 10 x2 £ 300 ï max z = 70 x1 + 120 x2 x ³ 0, x ³ 0 1 2 î
ì 9 x1 + 4 x2 + x3 = 360 ï 4 x1 + 5 x2 + x4 = 200 ï s.t. í 3x1 + 10 x2 + x5 = 300 ï ï x ³ 0, x ³ 0, x ³ 0, x ³ 0, x ³ 0 2 3 4 5 î 1
ï ï ï s.t. í ï ï ï î
- x1 + x2 - ( x3 - x3 ) + x4 = 9
' ' '' x1 - 2 x 2 + ( x3 - x3 ) - x5 = 2 ' '' -3x1' + x2 - 3( x3 - x3 )=5
' '' x1' ³ 0, x3 ³ 0, x3 ³ 0, x4 ³ 0, x5 ³ 0
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
解 按照前面的变换方法，执行下列步骤。 ①将min z转化为max (−z)。 ②令x3 = x'3− x"3，且x'3≥0，x"3≥0。 ③将第一个约束方程的左边减去一个非负 的松弛变量 x4 ，将第 2 、第 3 个约束方程的 左边分别加上一个非负的松弛变量x5和x6 这样，可以将原来的线性规划问题标准化 为
12
非标准型转化举例（二）
min z = x1 + 2 x2 - 3x3 ì x +x +x £9 1 2 3 ï ï - x1 - 2 x2 + x3 ³ 2 s.t. í ï 3x1 + x2 - 3x3 = 5 ' '' max z = x1' - 2 x2 + 3( x3 - x3 ) ï x £ 0, x ³ 0, x 2 3 î 1 ì ' ' ''
4. 决策变量全大于或等于零。
7
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
目标函数极小化转为极大化： minZ=-max(-Z) ，求 z 的最小值就是求 −z 的最 大值 不等式约束的转化: åaij xij £ bi加入松弛变量
åa x
ij ij
³ bi
减去剩余变量
当约束条件中第个方程出现 ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi 时， 则减去一个“松弛变量”xi1≥0，使它成为等式ai1x1+ ai2x2+…+ainxn − xi1=bi。
13
第2章 线性规划单纯形法
线性规划单纯形法
2.1 线性规划问题的标准型
2.2
2.3 2.4
改进的单纯形法和对偶问题
线性规划问题的应用案例 单纯形法的原理
Baidu Nhomakorabea
2.5
线性规划问题的Excel处理
2.1 线性规划问题的标准型
由上一章可知，线性规划模型有各种不同的形 式；即目标函数可以求极大值，也可以求极小值； 约束条件可以是等式也可以是不等式，不等号可 以是“ ≤ ”也可以是“ ≥ ”；决策变量一般是非 负的，但在理论模型中可能会允许在区间（ −∞ ， +∞）内取值。 为适应通用的代数求解方法，将不同形式的线 性规划模型转化为统一的标准形式是十分必要的。
8
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
当决策变量xj不满足xj≥0时，则增加两个新的 非负决策变量xj’≥0和xj"≥0，用xj’-xj"替代 xj，即令xj=xj’-xj"。 当约束条件中第i 个方程右端出现常数项bi ＜ 0 时，则在方程两边同时乘(-1)，得到bi＞0。
9
2.1.2 非标准型线性规划问题的标准化
例2.1 将下列非标准型线性规划问题化 为标准型。
min z = 3x1 - 2 x2 + 4 x3 ì 2 x + 3x + 4 x ≥ 300 1 2 3 ï ï ï x1 + 5x2 + 6 x3 ≥ 400 s.t. í ï x1 + x2 + x3≥ 200 ï x ≥ 0, x ≥ 0, x ï 1 2 3 î
3
2.1 线性规划问题的标准型
一般线性规划问题的标准型为（SLP）
代 数 式 ：
max z = CX ì AX = B s.t. í îX,B≥0
4
2.1 线性规划问题的标准型
矩阵式：
5
2.1 线性规划问题的标准型
和式： 向量式：
6
2.1 线性规划问题的标准型
标准型有以下4个特征
1. 目标函数值总为求最大。 2. 约束条件全为线性等式。 3. 约束条件右端常数项全部为非负数。