第十二章无穷级数练习题含答案

因为 ，由根值审敛法知级数 收敛。
10．已知 [参见教材246页]，计算 。
解：由 （ ），
得
。
（选作部分）11*．计算 。
解：由 ，
得 ，
于是 ，
从而 。
12*.把 展开成 的幂级数，并求级数 的和。
解： （ ），
（ ），
因 在点 处连续，而 在点 处收敛，
从而 （ ）。
于是
5.在区间 内求幂级数 的和函数。
解：设 （ ）， ，
，
，
（ ）。wenku.baidu.com
6.求级数 的和。
解：设 （ ），则
，
其中 ， （ ）。
设 ，则 ，
于是 ，
从而
（ ）。
因此 。
7.设 （ ）证明
1） 存在； 2）级数 收敛。
证：1）因 ，
，
故 是单调减少有下界的数列，所以 存在。
2）由（1）知 ，
记 ，因 存在，故 存在，所以 收敛，由比较审敛法知 收敛。
3.求幂级数 的收敛区间。
解：收敛半径为 ，
当 时，得级数 ，发散；
当 时，得交错级数 ，收敛。
所求收敛区间为 。
4.证明级数 当 时绝对收敛，当 时发散。
注：数列 单调增加，且 。
证：收敛半径 ，
当 时幂级数绝对收敛，当 时幂级数发散，
当 时，得级数 ， ， ，因 单调增加，且 ，故 ，于是得 ，由此 ，故级数 发散。
8.设 ，
1）求 的值；
2）试证：对任意的常数 ，级数 收敛。
9.设正项数列 单调减少，且 发散，试问 是否收敛？并说明理由。
10.已知 [参见教材246页]，计算 。
。
无穷级数例题选解
1.判别下列级数的敛散性：
解：1） ，而 收敛，
由比较审敛法知 收敛。
2） ，而 发散，
由比较审敛法的极限形式知 发散。
3） ，
，由比值审敛法知 收敛。
4） ，
，由根值审敛法知 收敛。
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
； ； 。
解：1）对于级数 ，
由 ，知级数 绝对收敛，
易知 条件收敛，故 条件收敛。
2） ，由 ，知级数 收敛，
故 绝对收敛。
3）记 ， ，而 发散，故 发散，
令 ， ，当 时， ，故 在区间 内单调增加，由此可知 ，又 ，故 收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。
8.设 ，
3）求 的值；
4）试证：对任意的常数 ，级数 收敛。
证：1） 因为
，
，
所以 。
2） 因为 ，所以 ，
由 知 收敛，从而 收敛。
9.．设正项数列 单调减少，且 发散，试问 是否收敛？并说明理由。
解：级数 收敛。
理由：由于正项数列 单调减少有下界，故 存在，记 ，则 。
若 ，则由莱布尼兹定理知 收敛，与题设矛盾，故 。
第十二章无穷级数练习
1.判别下列级数的敛散性：
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
； ； 。
3.求幂级数 的收敛区间。
4.证明级数 当 时绝对收敛，当 时发散。
注：数列 单调增加，且 。
5.在区间 内求幂级数 的和函数。
6.求级数 的和。
。
7.设 （ ）证明
1） 存在； 2）级数 收敛。