保守力与非保守力介绍
4.4保守力与非保守力势能
v v d A = F ⋅ d x = − kx d x
xQ
总功
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ xP
1
2
2 P
1
2
弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 只与物体的始末位置有关 与物体所经的路径无关. 与物体所经的路径无关
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第四章 动能和势能 2. 保守力与非保守力 定义：如果一个力所做的功， 定义：如果一个力所做的功，只与物体的始末位置 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。
v v 元功 d A = F ⋅ d x = − kx d x
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ 总功 xP xQ
1
2
2 P
1
2
所以
A = −( Ep Q − Ep P )
上式表明， 上式表明，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量 的负值， 弹力势能的减少量。 的负值，即弹力势能的减少量。
b
ra
r r r r r rb r ⋅ = mg （ − j ）∫r dr = mg（− j）(rb − ra ) ⋅ ra
A = mg( ya − yb ) 重
重力所作的功只由质点的始、 重力所作的功只由质点的始、 末位置决定 决定， 末位置决定，与质点运动的路 径无关
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第四章 动能和势能 (2) 弹力的功 小球由p点移到 点 小球由 点移到Q点，弹力 点移到 做功为多少？ 做功为多少？ 元功
非保守力判定条件
非保守力判定条件力是物理学中的基本概念之一，是描述物体运动和相互作用的重要因素。
在物理学中，保守力和非保守力是两种不同类型的力。
保守力是指在力所做的功与路径无关，而非保守力则是指在力所做的功与路径有关。
非保守力判定条件是指判断一个力是否为非保守力的一些规则和方法。
下面将介绍一些常见的非保守力判定条件。
当力的大小与物体的速度有关时，该力可以被认为是非保守力。
例如，摩擦力就是一种非保守力。
当物体在运动时，摩擦力的大小与物体的速度成正比，因此摩擦力是一个非保守力。
当力所做的功与路径有关时，该力也可以被认为是非保守力。
例如，阻力就是一种非保守力。
当物体在空气中运动时，阻力的大小与物体的运动路径有关，因此阻力是一个非保守力。
当力的大小与物体的形状和位置有关时，该力也可以被认为是非保守力。
例如，重力就是一种非保守力。
当物体的形状和位置发生变化时，重力的大小也会发生变化，因此重力是一个非保守力。
当力所做的功与时间有关时，该力也可以被认为是非保守力。
例如，阻尼力就是一种非保守力。
当物体在受到阻尼力的作用下运动时，阻尼力所做的功与时间有关，因此阻尼力是一个非保守力。
总的来说，非保守力判定条件主要包括力的大小与物体的速度、力所做的功与路径、力的大小与物体的形状和位置、力所做的功与时间等因素有关。
通过对这些因素的观察和分析，我们可以判断一个力是否为非保守力。
非保守力在物理学中起着重要的作用，它们可以改变物体的运动状态，使物体发生加速度或减速度。
在日常生活中，我们经常会遇到非保守力的存在，如摩擦力、阻力、重力等。
了解非保守力的判定条件可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，进而应用于实际问题的解决中。
非保守力判定条件是一些用于判断一个力是否为非保守力的方法和规则。
通过对力的大小与物体的速度、力所做的功与路径、力的大小与物体的形状和位置、力所做的功与时间等因素的观察和分析，我们可以确定一个力是否为非保守力。
非保守力在物理学中具有重要的意义，它们可以改变物体的运动状态，影响物体的加速度和减速度。
保守力与非保守力
保守力与非保守力Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
2-2-动能定理-保守力与非保守力-能量守恒定律(2024版)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
习题2-3 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌 面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为 零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使 弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 及弹簧组成的系统
解： W1 F1d cos300 176 .66 J W2 F2d cos 400 130 .22 J
W W1 W2 306 .88 J
根据动能定理有：
W 1 mv2 0 2
F2
F1
300
400
代入得： v 1.65m s1
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
机械能 E Ek Ep W ex Wnicn E2 E1
质点系的功能原理: 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
2 机械能守恒定律
功能原理 W ex Wnicn (Ek2 Ep2 ) (Ek1 Ep1)
(C)只有(2)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析（：1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少).
（3）错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
dx vxdt 1.5t 2dt
W
Fdx
2 9t3dt 0
36.0
4-4保守力与非保守力-势能(2024版)
o X0
解：重力势能为： （以o点为重力
势能零点,以向
Ep重力
o
mg dx
下为x正向）
P
ox
P
x
0 mgdx
mgx
弹性势能为： （以o点为弹性势能零点）
E p弹性
o F dx
P
x
Fdx
0
x
0 k( x x0 )dx
4 – 4 保守力与非保守力 势能
E p重 力 mgx
Fx Fz 0
A r2 F dr r1
x
mg y2 dy y1
mg y1 y2
A m gh
4 – 4 保守力与非保守力 势能
y2
y2
A Fzdy (mg)dy mg( y1 y2 )
y1
y1
重力作功的特点：
（1）与质点经过的路径无关； （2） 沿任意闭合路径一周重力作功必为零； （3）质点上升重力作负功。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例：如图半径为R的1/4凹圆柱面M放在光滑水平面上，小球m从
静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落，小球从水平方向飞离大物体 时速度 v ，求重力所做的功和内力所做的功
解：重力只对小球做功 A重力 mgR
V
m
R v
水平方向无外力，系统 保持水平方向动量守恒：
mv MV 0
Gmemh Re2
Gmemh2 Re3
mgh mg h2 Re
(
Gme Re2
g)
mgh ( Re h)
即引力势能在地面附近可用重力势能来替代。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例、 倔强系数为K的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹簧 伸长x0时，重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种势能均 为零，则当 m 偏离O点x时，系统的重力势能为多少？系统的弹 性势能为多少？系统的总势能为多少？
保守力与非保守力课件
03
常见保守力
常见的保守力包括重力、弹性力、万有引力等。
保守力做功与路径无关
做功定义
保守力做功是指力在空间上的累 积效应，等于力的大小与位移的
乘积。
路径无关性
由于保守力的做功只与始末位置 有关，而与路径无关，因此物体 在保守力作用下沿任意路径从同 一位置移动到同一位置所做的功
都是相同的。
计算方法
计算保守力做功时，可以通过始 末位置的势能差值来计算，即做 功等于末位置势能减去初位置势
电场力是非保守力的一种，它是由电 场对电荷的作用所产生的。电场力在 做功时与物体经过的路径和所处的位 置有关。
磁场力
磁场力是非保守力的一种，它是由磁 场对带电粒子或电流的作用所产生的。 磁场力在做功时与物体经过的路径和 所处的位置有关。
04 保守力与非保守力的应用
保守力在物理学的应用
机械能守恒
保守力在机械能守恒中起着关键作用， 重力、弹力等保守力在只有保守力做 功的情况下，系统的机械能保持不变。
保守力与非保守力课 件
目录
CONTENTS
• 保守力与非保守力的定义 • 保守力的特性
01 保守力与非保守力的定义
保守力的定 义
01
02
03
保守力
在物理系统中，保守力是 指做功与路径无关，只与 初末位置有关的力。
常见保守力
重力、弹性力、万有引力 等。
特点
保守力做功不会改变系统 内能，只改变系统的动。
非保守力的定 义
非保守力
与保守力相反，非保守力 做功与路径有关，且做功 会导致系统内能变化。
常见非保守力
摩擦力、空气阻力、电磁 力等。
特点
非保守力做功会改变系统 内能，同时也会改变系统 的动能。
3-5 保守力与非保守力
E pk
1 kx 2 2
1 1 2 2 W k ( kx b kx a ) 2 2 以弹簧原长为零势能点时。
势能曲线
E p mg z
1 2 E p kx 2
m' m Ep G r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
l-y y
0
摩擦力的元功dW ' ' ( l y ) gdy 总功
W
l
b
dW
l
b
d W d W ①
②
g 2 μg 2 (l b ) (l b)2 l l
dy
y
1 根据动能定理 W lv 2 0 2
由① 和② 两式可得
v
3-8 能量守恒定律
mgz a ]
A 弹性力 [
1 2 kxb 2
1 2 kxa ] 2
mM mM A 引力 [( G ) ( G )] rb ra
A 保 ( Epb Epa ) E p
dA 保 dEp
保守力做的功等于势能增量的负值。
A保 ( Epb Epa ) E p
3-5 保守力与非保守力
一、保守力 势能
（一）、重力、万有引力和弹性力作功的特点 1、重力的功 z
重力 G mg k a b b mg k (dxi dyj dzk ) A G dr a
a
m G y b
结论:
(mg )dz mgz a mgz b Z
保守力和非保守力关系的简答题
保守力和非保守力关系的简答题保守力和非保守力是物体受到的两类力，它们在物理过程中起着重要的作用。
保守力是指在物体的位移过程中所做的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关的力。
具体而言，在一个闭合环路中，如果一个力沿着任意一条路径绕回起点所做的功为零，则这个力是保守力。
反之，非保守力则是指在物体的位移过程中，所做功与路径有关的力。
保守力与非保守力的主要区别在于所做的功是否与路径有关。
对于保守力，物体在环路中的位移过程中，不论物体沿着怎样的路径运动，当回到起点时所做的功都是相同的。
换句话说，保守力是沿闭合环路的势能之梯度施加的，其中势能是由于位置而产生的。
例如，重力和弹簧力是典型的保守力。
在这些情况下，物体在环路中的总机械能始终保持不变。
非保守力与保守力不同，所做的功与路径有关。
不同的路径导致了所做的功的差异。
典型的非保守力包括摩擦力、阻力和涡旋力等。
摩擦力在物体相对于另一个表面移动时产生热量，所以它不是沿着闭合环路所做的，因此不是保守力。
涡旋力是一种旋转的非保守力，例如涡旋状流体中的湿气漩涡。
阻力是运动物体所受到的空气或流体的阻碍力，它同样也是非保守力。
保守力和非保守力之间存在一定的关系。
首先，任何一个非保守力可以被视为多个保守力的总和。
这是因为非保守力是路径相关的，可以通过微分位移的积分来计算相对于起点的总工作量。
而在每个微分位移中，可以将非保守力分解为垂直于位移方向的保守力和与位移方向平行的非保守力的两个分量。
这样，通过对各个微分位移的作用力进行积分，可以得到总的作用力，即非保守力。
另外，保守力和非保守力都可以通过势能来描述。
保守力是由势能施加的力，而非保守力没有明确定义的势能。
对于保守力，势能可以通过对力的势能函数进行积分得到。
当力是非保守力时，由于无法定义势能，因此无法使用势能来描述非保守力。
总的来说，保守力和非保守力是两种不同类型的力，它们在物体的位移过程中起着不同的作用。
保守力与物体的机械能有关，而非保守力则会改变物体的机械能。
《保守力与非保守力》PPT课件
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
11
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
3 – 5 保守力与非保守力 势能
四 势能曲线
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
Ep mgz
Ep
1 2
k x2
Ep
G
m'm r
Ep
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0 12
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
A
C
D
F dr F dr
ACB
ADB
B
5
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F dr F dr
ACB
ADB
A
C
F dr F dr F dr
l
ACB
BDA
D B
l F dr 0
A C
D
物体沿闭合路径运动 一周时,
讨论
势能是状态函数
Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
保守力与非保守力
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..摩擦力是耗散力;但非保守力如爆炸力不一定都是耗散力..⑴定义：做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做保守力..做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力..⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做功为零..重力、弹力等属于保守力..耗散力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关;在其他条件相同的情况下;物体运动路径越长;所做的功也越多..摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同;是和这两种力的本身的特点有关..物体系确定后保守力和物体的运动状况无关;其大小由相互作用物体的相对位置所确定;它的方向总在两个相互作用物体的连线上..例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关..耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化..例如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动的方向改变而变化;它的大小随物体运动速度增大而增加..③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系..保守力做正功;则物体系的势能减少；反之;则物体系的势能增加..而且相对两个位置之间;功量一定;能量差一定..所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件..系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒..耗散力不象保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差..所以耗散力和物体系的势能没有联系..但是它涉及另一种形式的能量;如果系统的各物体只受保守力和耗散力作用;那么系统的包括相应的这种形式的能量和机械能在内的总能量还是守恒的..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..功一、在F-l图象中求功我们也可以用图象来描述力对物体做功的大小.以Fcosα为纵坐标;以l为横坐标.当恒力F对物体做功时;由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积即表示功的大小;如图a所示.如果外力不是恒力;外力做功就不能用矩形表示.不过可以将位移划分为等距的小段;在每个小段中外力可近似看成恒力;所做功的大小即为该小段对应的小矩形的面积值;整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和;如图b所示.二、变力的功如果作用力F是恒定的;即力的大小和方向都不变;且受力物体向着确定的方向做直线运动;这时作用力和位移的夹角α也是恒定的;已知物体在力F的作用下运动的位移s;就可以根据公式W=Fscosα算出恒力所做的功.如果作用力是变力;即力的大小和或方向是变化的;或者物体做曲线运动;这时力F的大小随时间而变化;力和位移的夹角α也随时间而变化;便不能直接由上述公式计算功;这种情形要怎样计算功呢如图表示一个物体在变力作用下做曲线运动;由O点运动到O′点.现在我们把曲线分成很多小段;如图中的AB小段、CD小段等;每小段都足够小;可认为是直线;物体通过每小段的时间足够短;在这样短的时间里;力的变化很小;可以认为是恒定的.这样;对每小段来说;就可以用公式W=Fscosα计算功.把物体通过各个小段所做的功加在一起;就等于变力在整个过程中所做的功.三、保守力与耗散力1.保守力大小和方向完全由物体间相对位置确定的;且做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做“保守力”.保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做的功为零.万有引力包括重力、弹力等属于保守力.物体系确定后;保守力和物体的运动状况无关;其大小和方向由相互作用物体的相对位置所确定.例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关.保守力和物体系的势能有着极为密切的联系.保守力做正功;则物体系的势能减少;反之;则物体系的势能增加.而且相对两个位置之间;势能差一定.所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件.系统的各物体在只受保守力作用的情况下;其机械能守恒.保守力的功和势能的变化的关系为W保=Ep1-Ep2.这里的Ep2和Ep1表示终点和起点的势能.当W保>0时;保守力做正功;Ep1-Ep2>0;物体系统的势能要减少;当W保<0时;保守力做负功;Ep1-Ep2<0;物体系统的势能就要增加.保守力的功决定于物体系势能的变化量;在实际问题涉及的只有两个状态的势能差;而不是某一状态势能的绝对值.2.非保守力亦称“耗散力”.做功多少和物体运动路径有关的力叫非保守力.非保守力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关.例如;人推车是克服摩擦力做功;摩擦力是非保守力;人推车对车做的功并不与车向哪个方向运动有关.又如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动方向的改变而改变;它的大小随物体运动速度的增大而增加.非保守力不像保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差.所以非保守力和物体系的势能没有关系.物体在有非保守力作用时;其动能与势能之和机械能不再守恒.质点运动时做负功的非保守力也称为耗散力.除空气阻力外;爆炸力;内燃机气缸中气体对活塞的推力都是耗散力.耗散力之所以命名为“耗散”;是由于这种力所做的功一般跟机械运动转化为非机械运动如热运动紧密联系在一起.。
4.3 保守力与非保守力 (力学 漆安慎)
一、力场
力场定义：质点所受的力仅与质点的位置有关
F
F
(r )
。
例如，重力 场：G mg 弹簧的弹性力场 ：f kx
电磁力场和引力场 ： F
G
Mm r2
rˆ
洛伦兹力
f
qv B
和摩擦力
f
N
均不是力场。
有心力：质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。
Aa b
1 2
k (rb
l)2
1 2
k (ra
l)2
(E pb
E pa )
取弹簧自然长度时势能为零 ra l, E ，pa 0
则：E pb
1 2
k (rb
l)2
1 2
kx2
3.万有引力势能：
Aa b
GMm rb
GMm ra
(E pb
E pa )
选相距无限远时势能为零， r , E pa 0,
8
5
三、势能
由于保守力做功只与始末位置有关，而与路经无关，因而可引入势能的概念 定义：保守力所做的功等于势能增加的负值：
A保 E p ( E pf E pi )
其中 E pi, E pf 为物体始末位置的势能。
势能是空间位置的单值函数！
保守力的功只定义空间两点势能的差值，要完全确定空间各点 的势能，还需选择势能零点。
空间各点的势能与势能零点的选择有关，但任意两点的势能差 与零点的选择无关！
6
1.重力势能： Aa b m g ( yb y a ) ( E pb E pa )
a 选取起点 在地面上 ya， 并0 取地面势能为零
，E pa 0
则有： E pb m或gy写b 成
非保守力判定条件
非保守力判定条件非保守力是物理学中的基本概念之一，它是指作用在物体上的力不是仅仅沿着物体的运动方向而同向的力。
简单来说，非保守力是指摩擦力、阻力等不能被完全恢复的力。
在物理学中，非保守力和保守力是两个非常重要的概念。
保守力是指沿着物体运动方向而同向的力，它所做的功可以通过路径和初始位置以及最终位置来确定。
而非保守力则恰好相反，它所做的功不能通过路径和初始位置以及最终位置来唯一确定。
因此，我们需要特定的判定条件来鉴定一个力是否是非保守力。
下面，我们将介绍一些常见的非保守力判定条件：1. 路径导致能量损失。
当力沿着物体的运动方向施加时，物体在相应方向上获得了能量，但当力沿着不同于物体运动方向的方向施加时，会导致物体的能量损失。
2. 动能和势能不守恒。
对于保守力，动能和势能的总和是守恒的。
但对于非保守力，由于能量被耗散，势能和动能不再守恒。
3. 动能和功无法相等。
对于保守力，动能和所做的功是相等的。
但对于非保守力，由于能量被耗散，动能和所做的功不再相等。
4. 功与路径有关。
由于非保守力的性质，它所做的功取决于物体的运动路径。
当路径改变时，功的大小也会随之改变。
在实际应用中，我们需要特定的判定条件来识别一个力是否是非保守力。
了解非保守力的特征和判定条件对物理学的深入理解至关重要。
总而言之，非保守力是物理学中的基本概念之一，它与保守力是相对应的，两者具有不同的特征和属性。
通过上述介绍的非保守力判定条件，我们可以更好的认识和理解非保守力的本质特征，丰富我们物理学知识的储备，为我们掌握科学知识提供了很好的启示。
保守力与非保守力
保守⼒与⾮保守⼒⼀、万有引⼒、重⼒、弹性⼒作功的特点1 万有引⼒作功如上图所⽰，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任⼀路径由点A 运动到点B ，万有引⼒作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引⼒作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，⽽与所经过的路径⽆关。
这是万有引⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算万有引⼒作的功设在某⼀时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位⽮为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引⼒为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位⽮r 的单位⽮量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引⼒作的功为r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W从图可以看出r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e于是，上式为r r m m G W d d 2'-=所以，质点m 从点A 沿任⼀路径到达点B 的过程中，万有引⼒作的功为'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d即2 重⼒作功如右图所⽰，⼀个质量为m 的质点，在重⼒作⽤下从点A 沿ACB 路径⾄点B ，点A 和点B 距地⾯的⾼度分别为21 y y 和，计算重⼒作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重⼒作功只与质点的起始和终了位置有关，⽽与所经过的路径⽆关，这是重⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算重⼒作的功因为质点运动的路径为⼀曲线，所以重⼒和质点运动⽅向之间的夹⾓是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重⼒P 所作的功为r P d d ?=W若质点在平⾯内运动，按图所选坐标，并取地⾯上某⼀点为坐标原点O ，有j i r y x d d d +=且j P mg -=。
3-4保守力与非保守力
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=rm m G W从图可以看出rd cos d cos d d r r ===⋅θθr re r e 于是，上式为r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为rP d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有ji r y x d d d += 且j P mg -=。
保守力与非保守力
1
一
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
r
m
r r
er
dr
m'
B
m' m dW F dr G 2 er dr
r
2
m' m dW F dr G 2 er dr r
A
rA
m'
r
rB
m
B
4
( 2)
弹性力作功
设原长为坐标原点, 物体在F’外,位移：x
F
' F外
P
o
x
x
弹力：F kxi dW F d x kxi dxi kxdx
W dW k x
x2
1
1 2 1 2 xdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
GmE g 2 RE
m y
Ep 0
取：E p , RE 0 有：E p , R y mgy E 重力势能：E p mgy
RE
(取地面为零势点)
15
保守力所作的功与路径无关，仅与始、 末位置有关．
7
保守力所作的功与路径无关：
A
D
则有： ACB F dr ADB F dr F dr
l ACB
A ACB F dr ADB F dr W F dr 0 保守力的环流为零
14
设:质点:m, 离地面高度为: y mmE mmE 则：E p , R y E p , R (G ) (G ) RE y RE
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
大学物理：3_5保守力与非保守力
二 保守力 (conservative force)和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
mr'Am)
重力功 W (mgzB mgz A ) A
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 kx
2
2 A
)
F dr F dr
ACB
ADB
C D
B
1
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
A C
D
l F dr 0
B
A C
物体沿闭合路径运动 一周时,
D
保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (Ep2 Ep1) EP
3
2
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
三 势能 (potential energy) 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgzB mgzA )
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxLeabharlann 2 A
3-5 保守力和非保守力概述
保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间， m`物 体相对不动，m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系： 势来自是保守力对路径的线积分，EP＝
b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。
3-5 保守力和非保守力概述
W Wi Eki Eki0
i 1 i 1 i 1
作用在n个质点上 的力所作的功之和
n
n
n
系统内n个质点 系统内n个质点 的末动能之和 的初动能之和
作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的 动能增量。这也叫做质点系的动能定理。
系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外 力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力。 作用于质点系的力所作的功，应是一切外力 （系统外力）对质点系所作的功与质点系内一 切内力（系统内力）所作的功之和
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
④系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必 须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有 任何意义。 如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§3-6 功能原理
机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个 物体组成的系统，成为系统的功能原理。 一、质点系的动能定理 设系统由n个物体（质点）组成，作用于各个质点 的力所作的功分别为：
设两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点,M 指向m 的方向为矢径的正方向。m受 的引力方向与矢径方向相反。 rb 1 1 1 Wab GMm 2 dr GMm EP ra r ra rb 万有引力的功等于引力势能增量的负值。 引力势能以无穷远为零势能点。
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rB
m'
r dr
rB
B
1 1 W Gmm( ) rB rA
第三章 动量守恒和能量守恒
2
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
( 2)
弹性力作功
F
' F
P
o
弹性力 F kxi
x
x
dW kx dx
W Fdx
第三章 动量守恒和能量守恒
6
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
三
势能
与质点位置有关的能量． 引力势能
m' m Ep G r
引力的功
m' m m' m W ( G ) (G ) rB rA
弹力的功
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
m从A到B的过程中 F作功：
B m'm W F dr G 2 er dr A m A r dr r rA e er dr er dr cos dr r dr
9
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
*3-3
系统内质量移动问题 动能定理 保守力与非保守力
功能原理 完全弹性碰撞 能量守恒定律
第三章 动量守恒和能量守恒
10
3-4 3-5
3-6 3-7 3-8
势能
机械能守恒定律 完全非弹性碰撞
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
四
Ep
势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
第三章 动量守恒和能量守恒
r , Ep 0
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
二
保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
m'm m'm 引力的功 W ( G ) (G ) rB rA 1 2 1 2 弹力的功 W ( kxB kx A ) 2 2
第三章 动量守恒和能量守恒
5
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
F d r F d r A ACB ADB l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
l
C
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守 力对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
弹性势能
1 2 Ep kx 2
7
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
保守力的功 W ( Ep2 Ep1 ) EP
讨论
——保守力作正功，势能减少．
势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
一
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
x1
x2
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
3
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W Fdx
x1
x2
பைடு நூலகம்x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
4
第三章 动量守恒和能量守恒