控制系统--第五章 系统频率响应分析

b1x i
(t)
boxi (t)
(5.3)
系统的传递函数为
G(s)
Xo (s) Xi (s)
bmsm ansn
bm1sm-1 b1s bo a n1sn1 a1s a o
(5.4)
当输入信号为正弦信号，即 xi (t) Xisint时，其Laplace变换为
Xi (s)
Xi s2 2
Xo (s)
(5.12)
式中 u()是频率特性的实部，称为实频特性；
v()是频率特性的虚部，称为虚频特性。
综上所述，一个系统可以用微分
微分方程 dtd
s
dt d
jω
方程或传递函数来描述，也可以用频
系统
率特性来描述。他们之间的相互关系 如图5.3所示。
传递函数 s
频率特性 jω
图5.3 系统的微分方程，传递函数和 频率特性相互转换
当 从0→∞时，G(j) 的幅值由0→∞，相位总是90°。
所以微分环节频率特性的Nyquist
图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷 远点，如图5.8所示，微分环节具有 恒定的相位超前。
4. 惯性环节
Im [G(jω)]
ω +90°
0
ω=∞
Re
图5.8 微分环节的Nyquist图
传递函数 频率特性
G(s) Xo (s) K Xi (s) Ts 1
当 =0时，|G(j)| = 1，∠G(j) =0°；
当 =1/T时，|G(j)| = 2 ，∠G(j) =45°； 当 =∞时，| G(j)| = ∞，∠ G(j) = 90°。
当 从0→∞变化时，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→ 90°。
一阶微分环节频率特性的Nyquist图始于点( 1, j0 )，平行于虚轴，
故 G(j) =|G(j|) e jG( j) 就是系统的频率特性，它是将 G(s中) 的 s用 j取代后的结果，是 的复变函数。显然，频率特性的量纲 就是传递函数的量纲，也是输出信号与输入信号的量纲之比。
由于 G(j) 是一个复变函数，故也可写成实部和虚部之和，即
G( j) =Re[G( j)]+Im[ G(j) ]= u() jv()
5.1 频率特性概述
5.1.1 频率特性的概念
1. 频率响应 线性定常系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。
Xi(t)
G(s)
Xo(t)
图5.1 线性定常系统
对于如图5.1所示的线性定常系统，假设系统是稳定的，若 对其输入一正弦信号
xi(t)= Xisinωt
根据微分方程解的理论，则系统稳态输出信号为
Im
Q(ω) A(ω)
G(jω)
φ(ω) Re
P(ω) 图5.4 频率特性的几何表示
ωn
ω3 ω2 ω1 ω
|∠G(jω1)|
Im
0 Re
∠G(jω1)
图5.5 频率特性极坐标图
第五章 系统频率响应分析 5.2.1 典型环节的Nyquist图
1. 比例环节 传递函数 频率特性
G(s) Xo (s) K Xi (s)
G(s) Xo (s) 1 Xi (s) Ts
第五章 系统频率响应分析
频率特性
1
G( j) = jT
实频特性为0，虚频特性为
1；
T
幅频特性|G(j)| = 1 ，相频特性∠ G(j) = 90°
T
当 从0→∞时，| G(j)|从∞→0，相位总是 90°。
所以积分环节频率特性的Nyquist 图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向 原点，如图5.7所示，积分环节具有恒
Im
[G(jω)] 0
ω=∞
Re -90°
定的相位滞后。
ω
3. 微分环节
图5.7 积分环节的Nyquist图
传递函数 频率特性
G(s) Xo (s) Ts Xi (s)
G( j) = jT
第五章 系统频率响应分析
实频特性恒为0，虚频特性则为 ；
幅频特性|G(j)| = ，相频特性∠ G(j) = 90°。
第五章 系统频率响应分析
待定系数 B和B*
B
G(
s)
(s
Xi j )( s
j)
(s
j)
s j
G(s) Xi s j
s j
G(
j)
Xi 2j
G( j) e jG( j) Xi 2j
B*
s j
G( j)
Xi 2j
G( j) ejG( j) Xi 2j
将 B和B*代入(5.9)中，则系统的稳态响应为
(5.2)
() arctanT
其中：A() 称为系统的幅频特性；()称为系统的相频特性。
第五章 系统频率响应分析
3. 频率特性与传递函数的关系
设描述系统的微分方程为
a
n
x
(n) o
(t)
a
n 1 x
(n-1) o
(t)
a1x o
(t)
a
ox
o
(t)
b
m
x
( i
m
)
(
t
)
b x (m1) m1 i
xo(t)=Xo(ω) sin[ωt+φ(ω)]
第五章 系统频率响应分析 该信号也是一个正弦信号，其频率与输入信号相同，但幅 值和相位发生了变化,如图5.2所示。
Xi Xo
0 Φ(ω)
xi(t)=Xisinωt xo(t)=Xosin[ωt+φ(ω)]
图5.2 系统及稳态的输入输出波形
现设系统的传递函数为
为待定系数。对上式进行Laplace逆变换可得系统的输出为
n
x o (t) = Aiesit (Be jt B*e jt ) i1
(5. 8)
对稳定系统而言，系统的特征根si 均具有负实部，当t→∞时，
将衰减为零，则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态响应为
x o (t) =Be jt B*e jt
(5.9)
第五章 系统频率响应分析 若系统含有k 个重极点，则 xo (t) 将含有 t ek sjt (k=1，2，…，k-1)这 样一系列项。对于稳定的系统，由于 si 的实部为负，tk的增长 没有 esjt 的衰减快。所以 tkesjt的各项随着t→∞也都趋于零。因 此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都 如式(5.9)所示。
这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换 或其频谱，所以对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的 频谱分析。
3. 时间响应分析主要是通过分析线性系统过渡过程，以获得 系 统的动态特性，而频率特性分析则是通过分析不同的正弦输入 时系统的稳态响应，来获得系统的动态特性。
4. 在研究系统结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情 况下(例如对于单输入、单输出系统)，在频域中分析比在时域 中分析要容易。
G(j) =
K jT 1
=
1
K T 2
2
j 1
KT T 2
2
第五章 系统频率响应分析
实频特性
u()
=
K 1 T 2 2
，虚频特性
v()=
1
KT T 2
2
幅频特性|G(j)| =
K 1 T 2 2
，相频特性∠G(j) = arctanT 。
当 =0时，| G(j)| = K，∠ G(j) =0°；
2. 频率特性是单位脉冲响应函数的频谱 设某系统的输出为
Xo (s) G(s)Xi (s)
根据频率特性与传递函数的关系有
Xo ( j) G( j)Xi ( j)
第五章 系统频率响应分析
当 xi (t) (t)时， Xi ( j) F[ (t)] 1
故
Xo ( j) G( j)
或
F[Xo (t)] G( j)
e tT
Xi K sin(t arctanT) 1 T 2 2
1/T 为 G(s) 的极点或系统微分方程的特征根，因 si为负值， 所以系统是稳定的，随着时间的推移，即t→∞时，瞬态分 量迅速衰减至零，此时系统只剩下稳态输出
x o (t) = Xi K sin(t arctanT) 1 T 2 2
xo(t)
| G( j)
| Xi
e j[t G( j )]
e j[t G( j )] 2j
| G( j) | Xisin[t G( j)]
(5.10)
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为
A()
Xo () Xi
|
G(
j)
|
() G( j)
(5.11)
第五章 系统频率响应分析
系统的稳态输出是一个与输入同频率的正弦信号
第五章 系统频率响应分析 2. 频率特性
综上所述，线性系统在正弦输入作用下，其稳态输出的幅值 和相位随频率 的变化而变化，这恰好反映了系统本身特性， 我们将反映该特性的表达式 Xo ()和 arctanT 称为系统的频率特
Xi
性，记为
A() Xo () Xi
是在第一象限的一条垂线，如图5.10所示。 Im
ω
6. 振荡环节
[G(jω)]
传递函数
G(s)
Xo (s) Xi (s)
T 2s2
1 2Ts
1
s2
n2 2n s
n 2
式中
n
1 T
0
ω=0
∠G(jω) (1,jω)
当 =1/T时，| G(j)| =
K，∠G(
2
j)
=
45°；
当 =∞时，| G(j) | = 0，∠G(j) = 90°。
当 从0→∞时，惯性环节的Nyquist图为如图5.9所示的一个
半圆。 可证明如下：
因
=K
u() 1 T 2 2
于是有
v()
=
1
KT T 2
2
(U K )2 V 2 ( K K )2 ( KT )2 ( K )2
第五章 系统频率响应分析 5.1.2 频率特性的特点和作用 1. 频率特性可通过频率响应试验求取
根据频率特性的定义，首先改变输入正弦信号 Xie jt 的频率 并测出与此相应的输出幅值Xo ()与相移 ()。然后作出幅值比 Xo () / Xi 对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移 () 对频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。
可以看出，它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而
增大，最大相位滞后为90°。
5. 一阶微分环节
传递函数 频率特性
G(s) Ts 1
G(j) = Tj 1
实频特性恒为1，虚频特性为 T
幅频特性 | G(j) | = 1T 22 ，相频特性∠G(j) = arctanT 。
第五章 系统频率响应分析
2
1 T 22 2
1 T 22
2
Im
[G(jω)]
K
0
ω=∞
-45° ω=0
Re
ω=1/T ω
图5.9 惯性环节的Nyquist图
第五章 系统频率响应分析
所以，惯性环节频率特性的Nyquist图是一个以 ( K , j0)为
2
圆心，以
K 2
为半径的圆。由图可知，惯性环节频率特性的幅
值随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。同时
第五章 系统频率响应分析 5. 若线性系统的阶次较高，求得系统的微分方程较困难时，用
实验的方法获得频率特性会更方便。 6. 若系统的输入信号中带有严重的噪声干扰，则对系统采用频
率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。
第五章 系统频率响应分析
5.2 频率特性的极坐标图(Nyquist图)
G(s)Xi (s)
bmsm ansn
bm1sm-1 b1s bo a n1sn1 a1s a o
Xi s2 2
(5.5) (5.6)
第五章 系统频率响应分析
若系统无重极点，则上式可写为
Xo (s)
n i1
Ai s si
( B s j
B* ) s j
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(5.7)
其中，si为系统特征方程的根；Ai、B、B* (B*为B 的共轭负数)
G( j) = K
Im [G(jω)]
0
K Re
图5.6 比例环节的Nyquist图
实频特性恒为K，虚频特性恒为0； 幅频特性|G(j)| = K，相频特性∠ G(j) = 0°。
所以比例环节频率特性的Nyquist图为实轴上的一个定点， 其坐标为(K，j0) 3. 微分环节 。
2. 积分环节 传递函数
如图5.4所示，其实部和虚部分别为
P() Re[ G(j) ] Q() Im[ G(j)]
幅值和相角分别表示为
A() P2 () Q2 ()
( ) arctan P()
Q( )
当 从0→∞时，G(j) 端点轨迹即为频 率特性的极坐标图，或称Nyquist图， 如图5.5所示，它不仅表示了幅频特性 和相频特性，而且也表示了时频特性 和虚频特性。图中的箭头方向为 从小到大的方向。
第五章 系统频率响应分析
第五章 系统频率响应分析
本章学习要点：
了解频率响应及频率特性的概念、特点以及频率特 性与传递函数的关系；了解最小相位系统与非最小 相位系统的概念；熟悉典型环节的Nyquist图和 Bode图；掌握控制系统的Nyquist图和Bode图的 一般绘制方法。
第五章 系统频率响应分析
输入信号为
G(s) K Ts 1
xi (t) Xisint ，则其Laplace变换为
Xi
(s)
Xi s2 2
第五章 系统频率响应分析
因而有系统输出的Laplace变换
Xo (s)
G(s)Xi (s)
K Ts 1
Xi s2 2
取Laplace逆变换并整理得
xo (t)
Xi KT 1 T 2 2