用向量法解解析几何题
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平面向量与解析几何
例1、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围就是___。
解:F 1(－5,0)F 2(5,0),
设P(3cos θ,2sin θ
) 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=
--⋅--u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0
解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围就是(5
53,553-) 例2、已知定点A(-1,0)与B(1,0),P 就是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22PA PB
+的最大值与最小值。
分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最
值。 解:设已知圆的圆心为C,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r 0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222(
PO OA OB OP OP -⋅-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u =222OP +u u u r
又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
即37OP ≤≤u u u r 故2222022PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r 所以22
PA PB +的最大值为100,最小值为20。
例3、O 就是平面上一定点,A 、B 、C 就是平面上不共线的三个点,动点P 满足||||(AC AB OA OP ++=λ,[)∞∈＋，0λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
分析:因为||||AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 就是与∠ABC 的角平分线(射线)同向的一个向量,又()AB AC OP OA AP AB AC
λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,知P 点的轨迹就是∠ABC 的角平分线,从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
反思:根据本题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤; （1） 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量12v v u r u u r 、; （2） 求出角平分线的方向向量1212
v v v v v =+u r u u r r u r u u r （3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程:过P(00,x y ),其方向
向量为(,)v a b r ,其方程为00x x y y a b --=} 例4、已知常数0>a ,向量(0,)(1,0)c a ==r r ，i ,经过原点O 以c i λ+r r 为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-r r 为方向向量的直线相交于点P ,其中R ∈λ.试问:就是否存在两个定点F E 、,使得PE PF +u u u r u u u r 为定值,若存在,求出F E 、的坐标;若不存在,说明理由. (本小题主要考查平面向量的概念与计算,求轨迹的方法,椭圆的方程与性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想与综合解题能力、)
解:根据题设条件,首先求出点P 坐标满足的方程,据此再判断就是否存在两定点,使得点P
到两定点距离的与为定值、 ∵(0,)(1,0)c a ==r r ，i , ∴c i λ+r r =(λ,a ),2i c λ-r r =(1,－2λa )、
因此,直线OP 与AP 的方程分别为 ax y =λ 与 ax a y λ2-=-、
消去参数λ,得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-、
整理得 .1)2()2(812
22=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得:
(i)当2
2=a 时,方程①就是圆方程,故不存在合乎题意的定点E 与F; (ii)当2