《推理与证明二》PPT课件

A
A.充分条件 C.充要条件
B.必要条件 D.等价条件
分析法是执果索因，允许原因能推出结论 即可，并不一定需要充要条件，故必须为充分条件.
2.若a,b∈R,且a≠b，有下列四个式子
①a2+ab>2b2;
②a5+b5>a3b2+a2b3;
③a2+b2≥2(a-b-1); ④ + >2.
其中一定成立的有( )
典例精讲
题型一 用综合法证明 例1已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O
是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC，求证：PO⊥平面 ABC.
分析要证明PO⊥平面ABC，也就是要证明PO
垂直于平面ABC内的两条相交直线.
连接OC,OP，如图所示， 因为AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， 所以OA=OB=OC. 又因为PA=PB=PC， 所以△POA≌△POB≌△POC, 所以∠POA=∠POB=∠POC. 因为∠POA+∠POB=180°,所以∠POA=∠POB=90°,所以∠P
又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0, 所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0. 这与已知ab+bc+ac>0矛盾,所以a<0也不可能. 综上述，a>0成立. 同理可知b>0,c>0成立.
所以原命题得证.
点评 反证法证明问题的一般步骤是：(1)反设：
假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条 件下，存在与要证明的结论相反的情形；(2)归谬： 由反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理， 推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾断言反设不真， 从而肯定原命题的正确性.
“至少有一个不大于的否定”为“都大于”.
4.设a=
关系是
,b=
2
-7 .
a>c>b
3,c=
-6
2,则a,b,c的大小
c=
因为b=
-=
-7 4
3=,所以7b4<c，3,
又a=6 = 2
6 ，2所以a>c，故a>c>b.
也可用分2析法2. 2 3 6 2
5.若a
是
a+ba≥0b>,ab≥0+,b且b a≠ba，. 则a、b应满足的条件
示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P Q1 →Q1 Q2 →Q2 Q3 →…→Qn Q
2.分析法 一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法 叫做分析法.
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q
新课标高中一轮总复习
理数
• 第五单元 • 数列、推理与证明
第38讲
推理与证明(二)
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和 综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法， 了解反证法的思考过程、特点.
1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成
立的( )
题型三 用反证法证明
例3 已知a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ac>0, abc>
0.利用反证法证明：
a>0,.b>0,c>0
假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑a不是正数， 从而有a=0和a<0两种情况. 若a=0，则abc=0，与已知abc>0矛盾，
故a=0不可能;
若a<0,因为abc>0,所以bc<0.
例2 已知a>0,b>0，且a+b=1，试用分析法证明
不等式(a+ )(b+ )≥ 1.
1 25
a b4
分析 题 目 条 件 要 求 使 用 分 析 法 证 明 不 等 式 ，
只需要注意分析法证明问题的步骤即可.
要证(a+ )1(b+ )≥1 , 25
只 只需需证证a4b(a+b)2+a42(a2+bab2 2≥)-125,ba2b5+4≥40, 只需证4(ab)2-8aba-b25ab+8≥40,
则a(
由已知，a - )+b(
--aa
)>+0bb,
-bb
>a0,
即( -a )b(a-b)>0b, a
故a≥0，b≥0，且a≠b.
ab
1.综合法 一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表
P1 → P1 P2→P2 P3 →…→得到一个明显成立的条件
3.反证法 (1)定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经 过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. (2)用反证法导出的矛盾主要有： ①与假设矛盾； ②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了 的结论矛盾； ③与公认的简单事实矛盾.
只需证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≥8或ab≤ ,
由a+b=1,只需证ab≤ ,
而由1=a+b≥2 ，所以ab≤ 显然成立，
所以原不等式(a+ )(b+ )≥ 成立.
1
1
4ห้องสมุดไป่ตู้
4
1
ab
4
1
1 25
a
b4
点评分析法是从要证明的结论出发，逐步寻
求使它成立的充分条件(不一定是充要)，直到最 后，把要证明的结论归结到判定一个明显成立的 条件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的 方法，特别是当从已知条件推证要证的结论有困 难时，往往采用分析法.
aa
Db b
A.4个
B.3个
C.2个 D.1个
因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0, 所以a2+b2≥2a-2b-2,③一定成立，
①②④均可找到反例.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60
°”时，假设正确的是( )
B
A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°
4.应用 在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来 使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结
论Q；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若 由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.在证明一个
问题时，如果不容易从条件到结论证明时，可采取分 析的方法或者是间接证明的方法——反证法.有时证明 一道题需多法并用.
OC=90°.
即PO⊥OA，PO⊥OC，所以PO⊥平面ABC.
公点理、评定理综、合定法义证为明基立础体，几以何递问推题的，性以质立为体依几何据的进
行推理论证，因此，关键是找到与要证结论相匹配 的公理、定理、判定定理及其性质.同时综合法必须 保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证 结论成立.
题型二 用分析法证明