1映射与函数

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二、映射
1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. 需要注意的问题 (2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈Rf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定Rf=Y .
去心邻域 。 U(a, δ)={x|0<|xa|<δ}.
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二、映射
1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x), 元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即Df=X. X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf =f(X)={f(x)|x∈X}.
f是一个映射, 定义域D f =, 值域R f =[1, 1].
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1≠x2, 它们的像f(x1)≠f(x2), 则 称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. (2)设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对 每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (2)结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)对偶律 (A∪B)C=AC∩BC, (A∩B)C=AC∪BC. (A∪B)C=AC∩BC的证明 x∈(A∪B)CxA∪BxA且xB x∈AC且x∈BC x∈AC∩BC, 所以(A∪B)C=AC∩BC.
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集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M={x | x具有性质P }. 例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.
2 2
π π
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2.逆映射与复合映射 复合映射 设有两个映射g : X→Y1, f : Y2→Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映 射成f[g(x)]∈Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: X→Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x∈X . 说明: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域Rg必须包 映射的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f 也 含在f的定义域内, RgDf . 否则, g与g o f也未必相同. 有意义. 即使它们都有意义, f o 不能构成复合映射.
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直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 A×B={(x, y)|x∈A且y∈B} 称为集合A与集合B的直积. 例如, R×R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点 的集合, R×R常记作R2.
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几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集. 子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为AB(读作A包含于B). AB若x∈A, 则x∈B. 显然, NZ, ZQ, QR.
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1≠x2, 它们的像f(x1)≠f(x2), 则 称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (3) f :→[1, 1], 对每个x∈ [ , ] , f(x)=sin x .
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2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y∈Rf , 有唯一的 x∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : Rf →X, 对每个y∈Rf , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (3) f :→[1, 1], 对每个x∈[ , ] , f(x)=sin x .
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二、映射
1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. 需要注意的问题 (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域Df=X; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.
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例1 设 f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. f 是一个映射, f 的定义域Df =R, 值域Rf ={y|y≥0}. 例2 设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. 例3 f :→[1, 1], 对每个x∈ [ π , π ] [ 2 2 f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域Rf =Y. f(x)=sin x .
说明: Rf 是R的一个真子集. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点 对于Rf中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1, 1]上. 如y=4的原像就有x=2和x=2两个.
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3.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)={x|a<x<b}. [a, b]={x|a≤x≤b}——闭区间. [a, b)={x|a≤x<b}——半开区间, (a, b]={x|a<x≤b}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, ba 称为区 间的长度.
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例4 设有映射 g : R→[1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x, 映射f : [1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[1, 1], f (u ) = 1 u 2 . 则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有
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3.区间和邻域 无限区间 [a, +∞)={ x|a≤x}, (∞, b]={ x|x≤b}, (a, +∞)={ x|a<x}, (∞, b)={ x|x<b}, ∞, = , (∞, +∞)={ x| |x|<+∞}.
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2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y∈Rf , 有唯一的 x∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : R f →X, 对每个y∈Rf , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (1) f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. (2)设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对 每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应.
§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为a∈M, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
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邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设δ>0, 则称 U(a, δ)=(aδ, a+δ)={x| |xa|<δ} 为点a的δ邻域, 其中点a称为邻域的中心, δ 称为邻域的半 径.
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 A∪B={x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集(简称并). A∩B={x|x∈A且x∈B}称为A与B的交集(简称交). A\B={x|x∈A且xB}称为A与B的差集(简称差). AC=I\A={x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
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例1 设 f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. f 是一个映射, f 的定义域Df =R, 值域Rf ={y|y≥0}. 例2 设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域Rf =Y.