一类非线性伪抛物型方程的初边值问题

第25卷　第3期

2008年6月

黑龙江大学自然科学学报

JOURNAL OF NAT URAL SC I E NCE OF HE I L ONGJ I A NG UN I V ERSI TY

Vol 125No 13June,2008

一类非线性伪抛物型方程的初边值问题

孙明丽,　刘亚成

(哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001)

摘　要:研究了一类非线性伪抛物型方程的初边值问题。首先利用了经典的Galerkin 方法的思想,构造了原问题的近似解,并对非线性伪抛物型方程中的非齐次项函数限定了如下条件:f ′下方有界且g ′上方有界,得到了近似解的几个先验估计;然后证明了原问题整体弱解的存在性与唯一性;最后利用Poincare 不等式及Gr onwall 不等式,得到了问题整体广义解的渐近性质。

关键词:非线性伪抛物方程;初边值问题;整体弱解;存在唯一性;渐近性

中图分类号:O175126文献标志码:A 文章编号:1001-7011(2008)03-0343-04

收稿日期:

2007-07-01

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034);哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目(HE UF04012)

作者简介:孙明丽(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:非线性发展方程,E -mail:sunm ingli1221@yahoo 通讯作者:

刘亚成(1942-),男,教授

1　引　言

非线性Sobolev -Gal pern 型方程是从实际问题中提出的一类重要的伪抛物型方程,这类方程出现在许多数学物理领域,例如用于模拟热力学过程,岩石裂缝中渗流,土壤中湿气的迁移,以及固体中的扩散问题。因此,对此类方程的研究具有重要的理论与实际意义。

在文献[1-2]中研究的是如下拟抛物方程的初边值问题

u t -Δu t =f (u ),x ∈

Ω,t >0u (x,0)=u 0(x )

u |5Ω=0

其方法是利用Galerkin 方法,利用嵌入定理对f 限定条件后得到了问题的W k,p

解。

在文献[3]中研究的是一维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题,所用的方法是先将问题化为一个非线性积分方程,利用压缩映像原理得到局部解,再用先验估计得到整体解。

在文献[4]中研究的是多维Sobolev -Gal pern 方程的初边值问题u t -Δu t =σ(u x )x ,x ∈

Ω,t >0u (x,0)=u 0(x )

u |5Ω=0

利用Galerkin 方法,要求σ∈C 1

,σ′

(s )下方有界,得到了整体解的存在和唯一性。而本文研究下述一类非线性伪抛物方程

[5]

的初边值问题

u t -u xx t -u xx =f (u x )x +g (u )

(1)u (x,0)=u 0(x )(2)u (0,t )=u (1,t )=0

(3)

利用Galerkin 方法,证明了若f ∈C 1,f ′

(s )下方有界;g ∈C 1,g ′(s )上方有界,且u 0(x )∈H 2(Ω)∩H 1

0(Ω).则对任一T >0,问题(1)-(3)存在Ω×[0,T ]上的弱解u (x,t ),并且得到了解的渐近性质,本文所研

究的方程是一般的拟抛物方程与Sobolev -Gal pern 型方程的综合,从实质上推广和改进了已有的结果。

2　几个先验估计

设w j (x )为问题

-w jxx (x )=λj w j (x ),w j (0)=w j (1)=0

(4)

的特征函数系,则{w j (x )}在L 2(Ω)中成正交完备系,当Ω∈C 2时,w j (x )∈H 2(Ω)∩H 1

0(Ω),且{w j (x )}在H 1

0(Ω)中稠密。设问题(1)-(3)的近似解为

u m (x,t )=

∑m

j =1

a

j m

(t )w j (x )(m =1,2,…)

由Galerkin 方法,u m (x,t )即a j m (t )满足如下常微分方程的初值问题

(u m t ,w s )-(u m xx t ,w s )-(u m xx ,w s )=(f (u m x )x ,w s )+(g (u m ),w s )

(5)a j m (0)=a j m

(6)

其中s,j =1,2,…,m ,(u,v )=

∫

Ω

uv d x;初值a j m 的选取应使u 0(x )在空间H 2

(Ω)∩H 1

0(Ω)上有u m (x,0)→

u 0(x ).

引理1　设(H ):f ∈C 1

,f ′

(s )下方有界,即存在常数c 0,使得f ′(s )≥c 0;g ∈C 1

,g ′

(s )上方有界,即存在常数d 0,使得g ′(s )≤d 0.u 0(x )∈H 1

(Ω),并选取a j m ,使u m (x,0)

H 1

u 0(x ).则对任一T >0,问题(5),(6)的任意解有估计

‖u m ‖2+‖u m x ‖2

≤E 1(T )(0

(7)

(本文中E i (T )表示只与T 有关的常数,i =1,…,5.M l 也表示常数,l =1,…,10).

证明　定义f 1(s )=f (s )-c 1s -f (0),c 1=m in {c 0,0};g 1(s )=g (s )-d 1s -g (0),d 1=m ax {d 0,0},

由此可知f 1(0)=0,f 1′

(s )≥0,从而f 1(s )s ≥0;g 1(0)=0,g 1′(s )≤0,从而g 1(s )s ≤0.以a s m (t )乘(5),两边对s 从1到m 求和,分部积分可得

12d d t

(‖u m ‖2+‖u m x ‖2)+‖u m x ‖2

=-(f (u m x ),u m x )+(g (u m ),u m )(8)

由于f (u m x )=f 1(u m x )+c 1u m x +f (0);g (u m )=g 1(u m )+d 1u m +g (0),又(-c 1u m x -f (0),u m x )≤

M 1‖u m x ‖2

+M 2;(d 1u m +g (0),u m )≤M 3‖u m ‖2

+M 4,代入(8)式,有

d d t

(‖u m ‖2+‖u m x ‖2

)≤M 5(‖u m ‖2

+‖u m x ‖2

)+M 6.

由于u m (x,0)

H 1

u 0(x ),所以‖u m (0)‖2+‖u m x (0)‖2

≤const ,由Gronwall 不等式可得(7).

引理2　在(H )的条件下,且u 0(x )∈H 2

(Ω)∩H 10

(Ω),并选a j m ,使u m (x,0)

H 2

u 0(x ),则有估计

‖u m xx ‖2

≤E 2(T )(0

(9)

证明　以λs a s m (t )乘(5),两边对s 从1到m 求和,分部积分可得

12d d t (‖u m x ‖2+‖u m xx ‖2)+‖u m xx ‖2≤-c 0‖u m xx ‖2+d 0‖u m x ‖2

即

d d t

(‖u m x ‖2+‖u m xx ‖2)≤M 7(‖u m x ‖2+‖u m xx ‖2

),由Gronwall 不等式可得到(9).引理3　在引理2的条件下有估计

‖u m t ‖≤E 3(T ),‖u m x t ‖2

≤E 4(T )(0

(10)证明　以a s m ′

(t )乘(5),两边对s 从1到m 求和,分部积分可得‖u m t ‖2+‖u m x t ‖2

=(u m xx ,u m t )+(f (u m x )x ,u m t )+(g (u m ),u m t )(11)

所以有‖u m t ‖2

≤‖u m xx ‖‖u m t ‖+‖f ′

(u m x )‖∞‖u m xx ‖‖u m t ‖+‖g (u m )‖‖u m t ‖≤M 8‖u m t ‖,由此可得‖u m t ‖≤E 3(T ),再代入(11)得到‖u m x t ‖2

≤E 4(T ).

引理4　在引理2的条件下还有估计

‖u m xx t ‖≤E 5(T )(0

(12)

证明　以λs a s m ′

(t )乘(5),两边对s 从1到m 求和,分部积分可得 ‖u m xx t ‖2

=(u m t ,u m xx t )-(u m xx ,u m xx t )-(f (u m x )x ,u m xx t )-(g (u m ),u m xx t ))

・443・黑　龙　江　大　学　自　然　科　学　学　报 第25卷