n维向量空间

第二节 n 维向量空间

定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母

表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T

n n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=β为n 维列向

量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。

特别对矩阵=A ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a

2

1

22221

11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为

矩阵A 的行向量；每一列()

T

nj

j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。

定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。

定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。

定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα

()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211

定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质：

（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(

（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1

定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。

例1：设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α, )1,1,1,4(3-=α,求α。 解：)4,3,2,1()523(6

1

321=-+=

αααα 例2：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α与数K 满足0=αK ，则K ＝0或0=α。 证明：由0=αK ⇒αK ())0,,0,0(,,,21 ==n Ka Ka Ka 0=⇒i K α（),,2,1n i = 则K ＝0或0=α

例3：线性方程组⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* （1）

记=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211

，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n x x x X 21 则线性方程组(1)可写成：β=AX ,或记：=j α()

T

mj

j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =

则线性方程组(1)又可写成：()βααα=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛n n x x x 2121,,,，即：

βααα=+++n n x x x 2211 （2） 其中j α是矩阵A 的列向量。

若线性方程组(1)有解的话，常数列β可写成(2)式。称解()T

n x x x X ,,,21 =为线

性方程组(1)的一个解向量。

定义8：对于向量组s ααα,,,21 和向量β，如果存在s 个数s K K K 21,，使得

s s K K K αααβ+++= 2211

成立，则称向量β是向量组s ααα,,,21 的线性组合，或称向量β可以由向量组

s ααα,,,21 的线性表示。

在例3中，如果线性方程组(1)有解，则常数列β可由系数矩阵A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示。反之，若要判断向量β可否由向量组s ααα,,,21 的线性表示，就可转化为判断一个非齐次线性方程组β=AX 有否解的问题。其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21β，),,2,1(21s j a a a mj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=α，⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=s x x x X 21，A ＝()s ααα,,,21 。

定理1：向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组AX=β有解，其中A ＝()s ααα,,,21 。 即：

(1) 当β=AX 无解，则β不能用向量组s ααα,,,21 线性表示；

(2) 当β=AX 有唯一解，则β能用向量组s ααα,,,21 线性表示，表示式唯一；

(3) 当β=AX 有无穷多组解时，则β能用向量组s ααα,,,21 线性表示，但表示式不唯一。

例4：已知=βT )2,0,1(-,T )1,1,1(1=α,T )1,2,1(2=α,T )1,0,0(3=α，问β可否能用向量组321,,ααα线性表示？如能，求出表示式。 解： βααα=++332211x x x

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===211100211011)()(321βαααβA A ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→110010102001112010101011

有3)()(==A r A r ，则β能用向量组321,,ααα线性表示，且表示式唯一，且线性