人教版版数学专题复习第21讲直角三角形与勾股定理PPT课件
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(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于__斜__边__的__一__半__ (1)两个内角互余的三角形是直角三角形
(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 (1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝a＋2b－c，外接圆半径 R＝2c，即等于斜边的一半
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例
► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图21－2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面 爬到柜角C1处．
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定
定义 性质 判定 拓展
有一个角是__直__角____的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 _斜__边__的__一__半___
第21讲┃ 归类示例
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89.
l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89.
(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝
B1C1 AC1
命题
错误的命题称为_假__命__题___
组成 每个命题都由_条__件___和__结__论__两个部分组
成
公理
公认的真命题称为__公__理____
除公理以外，其他真命题的正确性都经过
定理
推理的方法证实，推理的过程称为
__证__明____．经过证明的真命题称为__定__理____
第21讲┃ 归类示例
归类示例
－1，则三角板的最大边的长为
(D)
图 21－1
A．3 cm B．6 cm
C．3 2 cm D. 6 2 cm
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝
2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2AB＝
6 2(cm)．
第21讲┃ 归类示例
[2012·广州] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，
图21－2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例 解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1，
和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2013·四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在
一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，
测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21
③∵12＋( 3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意． 故构成直角三角形的有②③.故选 D.
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
·AA1＝
4 89
·5＝
20 89
89.
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
第21讲┃ 归类示例
► 类型之三 勾股定理逆定理的应用
命题角度： 勾股定理逆定理.
[2012·广西] 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；
BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是
(A)
A.356
B.1225
C.94
DHale Waihona Puke Baidu3
3 4
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD， ∴CD＝ACA·BBC＝9×1512＝356， 则点C到AB的距离是356. 故选A.
第21讲┃ 考点聚焦
考点2 勾股定理及逆定理
勾股 定理
勾股 定理 的逆 定理
勾股 数
直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边
c 的平方．即：__a_2＋__b_2_＝__c_2__
如果三角形的三边长 a、b、c
逆定理 有关系： __a_2_＋__b_2＝__c_2__ ，那么
这个三角形是直角三角形
(1)判断某三角形是否为直角三
用途
角形；(2)证明两条线段垂直；(3)
解决生活实际问题
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，
称为勾股数
第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题
互逆 命题
互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其
中一个叫做_原__命__题___，那么另一个叫做它的 _逆__命__题___
③1， 3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，
构成直角三角形的有 A．② C．①③
B．①② D．②③
(D )
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据直角三角形的判定，只要两边的平方和等 于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小 的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故 不符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意；
若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 个定理的_逆__定__理___，称这两个定理为互逆定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点4 命题、定义、定理、公理
在日常生活中，为了交流方便，我们就要
定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确
的规定，也就是给他们下定义
定义
判断一件事情的句子叫做命题
分类
正确的命题称为_真__命__题___
(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 (1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝a＋2b－c，外接圆半径 R＝2c，即等于斜边的一半
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例
► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图21－2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面 爬到柜角C1处．
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定
定义 性质 判定 拓展
有一个角是__直__角____的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 _斜__边__的__一__半___
第21讲┃ 归类示例
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89.
l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89.
(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝
B1C1 AC1
命题
错误的命题称为_假__命__题___
组成 每个命题都由_条__件___和__结__论__两个部分组
成
公理
公认的真命题称为__公__理____
除公理以外，其他真命题的正确性都经过
定理
推理的方法证实，推理的过程称为
__证__明____．经过证明的真命题称为__定__理____
第21讲┃ 归类示例
归类示例
－1，则三角板的最大边的长为
(D)
图 21－1
A．3 cm B．6 cm
C．3 2 cm D. 6 2 cm
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝
2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2AB＝
6 2(cm)．
第21讲┃ 归类示例
[2012·广州] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，
图21－2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例 解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1，
和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2013·四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在
一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，
测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21
③∵12＋( 3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意． 故构成直角三角形的有②③.故选 D.
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
·AA1＝
4 89
·5＝
20 89
89.
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
第21讲┃ 归类示例
► 类型之三 勾股定理逆定理的应用
命题角度： 勾股定理逆定理.
[2012·广西] 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；
BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是
(A)
A.356
B.1225
C.94
DHale Waihona Puke Baidu3
3 4
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD， ∴CD＝ACA·BBC＝9×1512＝356， 则点C到AB的距离是356. 故选A.
第21讲┃ 考点聚焦
考点2 勾股定理及逆定理
勾股 定理
勾股 定理 的逆 定理
勾股 数
直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边
c 的平方．即：__a_2＋__b_2_＝__c_2__
如果三角形的三边长 a、b、c
逆定理 有关系： __a_2_＋__b_2＝__c_2__ ，那么
这个三角形是直角三角形
(1)判断某三角形是否为直角三
用途
角形；(2)证明两条线段垂直；(3)
解决生活实际问题
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，
称为勾股数
第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题
互逆 命题
互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其
中一个叫做_原__命__题___，那么另一个叫做它的 _逆__命__题___
③1， 3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，
构成直角三角形的有 A．② C．①③
B．①② D．②③
(D )
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据直角三角形的判定，只要两边的平方和等 于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小 的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故 不符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意；
若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 个定理的_逆__定__理___，称这两个定理为互逆定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点4 命题、定义、定理、公理
在日常生活中，为了交流方便，我们就要
定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确
的规定，也就是给他们下定义
定义
判断一件事情的句子叫做命题
分类
正确的命题称为_真__命__题___