数学建模之模糊评价与模糊聚类

一、模糊评价

模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评

价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。 特点：

①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。

②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。 ③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。

模糊评价的应用

①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定，

③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。

一级模糊综合评判模型的建立步骤

①确定因素集及评语集

确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,

,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；

②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。

用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有

111212122212

=,01m m ij n n nm r r r r r r R r r r r ⎛⎫

⎪ ⎪

≤≤ ⎪

⎪⎝⎭

③确定各因素的权重

用i a 表示第i 个因素的权重，1

1n

i i a ==∑，则评价因素权向量A 为

()12,,,n A a a a =。

④综合评判

由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为

:()(),R T F U F V →

则评判的综合结果为

()

11121212221212

,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪

⎪⎝⎭

。 多层次模糊综合评判模型的建立步骤

①确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,

,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；

②将U 按照某种属性划分成s 个子因素集，即12,,

,s U U U 。其中

{

}

12,,

,,1,2,

,,i i i i in U U U U i s ==并且满足以下关系：

1212,,,s s i

j n n n n U U U U i j U U ++

+=⋃⋃

⋃=∀≠=Φ（1）（2）（3）对。

③分别对每个因素集i U 做综合评价。确定i U 中各个因素相对于V 的权重

12,,,i i i i in A a a a ⎡⎤=⎣⎦，用i R 表示单因素评判矩阵，则一级评价向量为

[]12,,,,1,2,

,.i i i i i im B A R b b b i s ===

④将各个i U 看成一个因素，记该因素为{}12,,,s K u u u =，得到K 的单因素评

价矩阵为

11112

122122

212

=.m m s s sm s B b b b B b b b R b b b B ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪

⎢⎥ ⎪⎢⎥

⎪⎢⎥⎝⎭

⎣⎦ 按照i U 对U 的重要程度，确定权重()12,,

,s A a a a =，则得二级评价向量为

[]12,,,.m B A R b b b ==

若(1,2,,)i U i s =包含的因素较多，可将i U 多次划分，得到三级，四级评价模

型等。 例题：

向位专家就科研课题进行调查,通过统计调查数据,形成科研课题A 评价数据如下表：

科研课题A 的评价数据

模型的建立

①确定因素集及评语集

令指标集为F ,指标由5个指标组成,即125(,,

)F f f f =,1f 表示立题必要性,2

f 表示技术先进性,。3f 表示实施可行性,。4f 表示经济合理性,5f 表示社会效益。 令评语集为V, 12

5(,,)V v v v =，123,==v v v =“一级”“二级”“三级”，

3=v “四级”,5=v “五级” 。由加权平均原则确定。

②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。 ③确定各因素的权重

令权重集为12345=(w )W w w w w ，1w =，2w =，3w =，4w =，5w =。 ④综合评判

B W R =

其中是合成的算子

为向量或矩阵间的“乘”运算。

模型的求解

①确定因素集及评语集

根据加权平均原则来确定评语。对各评语赋值,令“一级”、“二级”、“三级”、“四级”、“五级”分别为分、分、分、分、分,令V= 。 ②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。

从表可知,在立题必要性的调查中有6位专家认为属于“二级”,有3位专家认为属于“三级”；在技术先进性的调查中有5位专家认为属于“一级”,有3位专家认为属于“二级”,有1位专家认为属于“三级”；在实施可行性的调查中有4位专家认为属于“二级”,有4位专家认为属于“三级”,有位1专家认为属