电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案

2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：

cos ()2t X t t

π⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：

（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；

（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；

（3）画出上述分布函数的图形。

2.3 解：

（1）

一维分布为: ()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+-

()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-

(2) cos ()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面

{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生 二维分布函数为

()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--

2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。试问，

（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？

（2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？

2.4解：

解：（1）

{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024

P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦

==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=

（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，

B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有：

串（4bit 数据）为：∑=+=3

0)(2)(k k k n B n X ，其矩特性为：

因为随机变量)(n B 的矩为：

均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E

方差：

[]()(){}2

22222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=⨯+⨯-=-=

所以随机变量)(n X 的矩为：

均值：

[]303300[()]2()2()20.812k k k k

k k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

=+=⨯=∑∑∑

方差：

()[]3033200[()]2()2

()40.1613.6k k k k k k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

=+=⨯=∑∑∑

如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均：

()()()(){}{}

,1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦

串方差：

()()()(){}{}

,1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦= （3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1

（4）该序列是不可预测的,因为此数据序

列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何

关系。所以如果见到10111后，下一位仍为0或 1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.3 正弦随机信号{X (t,s )=A cos(200πt ), t >0}, 其中振幅随机变量A 取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问，

（1）一维概率分布F (x ,5)；

（2）二维概率分布F (x , y , 0, 0.0025)；

（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？

（4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？

解：（1） ()()cos 2005X t A π=⨯

(5)X A =

()()();50.110.9F x u x u x =-+

（2）

{}

{}

(0)1,(0.0025)0,0.1(0)0,(0.0025)0,0.9X X X X ====依概率发生依概率发生

()()(),;0,0.00250.110.9,F x y u x y u x y =-+，

（3）因为[]00.9P A ==，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压(A = 0) 。

（4）t = 1时刻 ，有

()(),cos 20011X t s A A π=⨯==，可得A=1； t = 2时刻 ，有

()(),cos 20021X t s A A π=⨯==；

因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值 1 ，所以()()()21111P X X ⎡⎤===⎣⎦。它是可预测的随机信号。

解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量A ，而它的值只在初始时是不确定的，一旦A 的值确定了，信号变成了确定信号。

2.4 若正弦信号()cos()X t A t ω=+Θ，其中振幅A 与频率ω取常数，相位Θ是一个随机变量，它均匀分布于[],ππ-间，即

1,()20f πθπθπ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他

求在t 时刻信号()X t 的概率密度()()X t f x 。

解：注意到()X t 是Θ的函数，并且，arccos x t A θω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

。对于任意给定的t ω，()cos()X t A t ω=+Θ随Θ可能有多个单调段。但在每个单调段上都有，