§3.1.2不等关系与不等式(二)

b0
推论1:(乘法法则)
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a b 0, 且c d 0 ac bd.
4
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
推广: a1 b1 0, a2 b2 0,an bn 0
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
求证：如果a b 0, c d 0, 那么ac bd 证明：ac bd ac bc bc bd ca b bc d
证明：假设n a不大于n b ,即n a n b
n 这有两种情况：a n b，或者n a n b
由推论2和定理 ，当n a n b时，有a b 1 当n a n b时，有a b 这些都与已知条件 b 0矛盾。 a
所以n a n b
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a1a2 an b1b2 bn
若a1 a2 an 0，b1 b2 bn 0
推论2:(乘方法则) a b 0, an bn (n N , 且N 1)
a b a2n1 b2n1 (n N , 且N 1)
问题：不等式具有开方 原则吗？ n 即由a b 0能否得到 a n b n N , n 1？
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a>b b<a a>b , b>c a>c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b , c>d a+c>b+d a>b , c>0 ac>bc a>b , c<0 ac<bc a>b>0 , c>d>0 ac>bd a>b>0 an > bn (n∈N , n＞1）
c c 例3 已知a>b>0,c<0，求证 a b 证明：∵ a>b>0 另法（取差比较） 1 两边同乘以正数 ， c c bc ac (b a )c ab 1 1 a b ab ab 得 b a ∵a>b>0,c<0， 1 1 ∴ab>0,b-a<0， 即 a b c c 0 又 c0 a b c c c c a b a b
2
2
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的课堂小结
① 性质1.如果
a b,
如果
② 性质2.如果 ③ 性质3.如果
b a; b ab a b, 且b c, 那么a c
那么 a, 那么
④性质4:
am
aБайду номын сангаас
∴
bm b m(a b) 0 am a a(a m)
bm b am a
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的课堂练习 1. 设 a ﹥ b ，用 “﹥” 或 “﹤” 号填空： ＞ a＋5 ___ b ＋5 ;
如果a b, 且c 0, 那么ac bc; 如果a b, 且c 0, 那么ac bc;
证明: ac bc
(a b)c a b, a b 0,
（可乘性）
当c 0时, (a b)c 0, 同号得正
即ac bc;
当c 0时, (a b)c 0, 异号得负 即ac bc;
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如果a b, 那么b a; 如果b a, 那么a b. (a b b a) (对称性)
(a b a c b c) （加法单调性）
2
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不等式的性质 性质4:
a c b c
2 2
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的课堂练习
3.单项选择： (1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（A） A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0 (2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ D ） A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0 (3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ C） A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数 (4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（ ） D a 1 A.4a＞4 B.a+5＞6 C. ＜ D.a-1＜0
§3.1.2不等关系与不等式(二)
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
温故知新 1. 两 实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0 2. 不等式的基本性质：
性质1:
性质2:
如果a b, 且b c, 那么a c. (a b, 且b c a c) (传递性) 性质3: 如果a b, 那么a c b c.
（2） 6x ﹤5x －1; （4） －4 x ﹥ 3 . （2） 6x ﹤5x －1; （4） －4 x ﹥ 3 . 3 x4
8
1x<5
2
x>10
x﹥ 5 ；

x<-1
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不等式的性质的题型示例
a b a b 0；c d c d 0 又 c 0，b 0 ca b bc d 0 即ac bd a b 0 另法： ac bc c0 ac bd c d 0 bc bd
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的题型示例 例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 x> a 或 x < a 的形式 ：
（1） x-2﹤3 ； 1 （3） x﹥5 ； 2 解： （1） x-2﹤3 ； （3）
(1)
(2) 2a ___ 2b ; ＞
a ___ b (3) －5a ___ －5b ； (4) ＜ ＞ 3 3 2.判断下列各命题的真假，并说明理由：
√ 2如果a b, 那么 × 3如果ac bc, 那么a b × 4如果ac bc , 那么a b √
1如果a b, 那么a c b c
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不等式的性质的题型示例 例4.比较 (a 3)(a 5) 与 (a 2)(a 4) 的大小.
解： (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8)
7 0
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
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比较大小的思维过程
比较两个实数(代数式)大小的思维过程: ①作差→②变形→③判断→④结论 简称：“三步一结论”
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质 性质5:
n n
开方原则
如果a b 0, 那么 a b (n N , 且N 1) 如果a b, 那么2n1 a 2n1 b (n N , 且N 1)
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的题型示例 例5.已知 x R , 比较 ( x 1) 与 的大小.
2 2
x x 1
4 2
解：
( x 1) ( x x 1) 2 4 2 4 2 x 2x 1 x x 1 x
2 2
4
2
当
x0
从而
2
，得
2
x 0
2
4 2
当
x0
从而
( x 1) x x 1.
，得
2 2
x 0
2
12
( x 1) x4 x2 1.
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不等式的性质的题型示例 “糖水加糖甜更甜”问题 例6. 已知a > b > 0, m>0,求证：b m b 证明： ∵ a > b > 0, m>0,
如果a b, 且c 0, 那么ac bc; 如果a b, 且c 0, 那么ac bc;
a b 0, 且c d 0 ac bd.
n n
a b，那么 a c b c
推论1:(乘法法则)
推论2:(乘方法则) a b 0, a b (n N , 且N 1)
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质的题型示例 例1.设 a ﹥ b ，用 “﹥” 或 “﹤” 号填空： ﹥ ﹥ (1) a－3 ___ b －3 ; (2) a ___ b ; 2 2 ﹤ (3) －4a ___ －4b . 解：1） 因为 a﹥b, 两边都减去 3, 得 （ a－3 ﹥b －3 （2） 因为 a﹥b，并且 2﹥0 ，得 b a ﹥ 2 2 （3） 因为 a﹥b，并且－4﹤0，得 －4a ﹤－4b
⑤性质5: 如果a b 0, 那么n
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a n b (n N , 且N 1)
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不等式的性质的课堂小结 对称性 传递性 可加性 移项法则 加法法则 可乘性
乘法法则 乘方法则 开方法则
a b 0 n a n b (n N且n 1)
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§3.1.2不等关系与不等式(二)
课堂练习 <<教材>> P.74
练习2
书面作业
<<教材>> P.75 习题3.1 B组1.2
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