5-3 定积分与原函数的关系

特别
d b ∫x f (t )dt = − f ( x) dx
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d b( x) F′( x) = ∫ f (t )dt a( x ) dx = f [b( x)]b′( x) − f [a( x)]a′( x)
证 F ( x) =
∫a ( x )
b( x ) 0
π 0
π
x
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小
结
x
1.积分上限函数 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt 积分上限函数 a 2.积分上限函数的导数 Φ′( x ) = f ( x ) 积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 微积分基本公式
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的 牛顿－ 关系． 关系．
a
b a
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牛顿(Newton)—莱布尼茨 莱布尼茨(Lebniz)公式 牛顿 莱布尼茨 公式
∫
b f ( x)dx = F(b) − F(a) a
= [F( x)]b = F( x) b a a
微积分基本公式表明： 微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于它的任 上的增量. 意一个原函数在区间[a , b]上的增量 求定积分问题转化为求原函数的问题. 求定积分问题转化为求原函数的问题 注意 当 a
0
+∫
b( x )
0
f ( t )dt
a( x ) 0
=
∫
f ( t )dt − ∫
f ( t )dt ,
F ′( x ) = f [b( x )]b′( x ) − f [a ( x )]a′( x )
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x t 2 cos u x = ∫2 u du dy 例2 已知 ,求 . 2 sin u dx y=∫3 du t u 内连续， 例 3 设 f ( x ) 在[ 0, +∞ )内连续，且 f ( x ) > 0 .证明函数 证明函数
y
o
1
2
x
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例7 求
∫
2 max{ x , x 2 }dx . −2
y
解 由图形可知
f ( x ) = max{ x , x }
2
y = x2
y= x
−2
x 2, − 2 ≤ x ≤ 0 = x , 0 ≤ x ≤ 1 , x2 , 1 ≤ x ≤ 2
0 2 1 −2 0
定理的重要意义： 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的 ）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 ） 间的联系. 间的联系
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f ( x )在[a , b]上连续 , x ∈ [a , b] d x Φ′( x) = ∫ f (t )dt = f ( x) dx a
记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .
a
x
积分变上限函数
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积分上限函数的性质
1 定理 若f ( x )在[a , b]上可积 , 则Φ( x ) = ∫ f ( t )dt
a x
在[a , b]上连续 .
连续， 定理 2 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导 d x (a ≤ x ≤ b) 数是 Φ′( x ) = ∫ f ( t )dt = f ( x ) a dx
o
1
2
x
∴ 原式 = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫
2
1
11 x dx = . 2
2
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例 8 计算曲线 y = sin x 在[0, π]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积
解 面积
A=
∫
π sin 0
y
xdx
o
= [− cos x ] = 2.
d x ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx d b ∫x f ( u)du = − f ( x ) dx
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例1 求
x →0
∫ lim
x 2 cos t dt 0
.
t )dt 0 内为单调增加函数. 在(0,+∞ )内为单调增加函数 x f ( t )dt 0
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例4 已知F ( x ) = ∫ ( x 2 − t 2 ) sin tdt , 求F ′( x ). 0 定理4（微积分基本公式） 定理 （微积分基本公式） 如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上
x
的一个原函数，则 ∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ). 的一个原函数，
证 Q 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数， 的一个原函数， x 的一个原函数, 又Q Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数 a x ∈ [a , b] ∴ F ( x ) − Φ( x ) = C 令 x = a ⇒F ( a ) − Φ ( a ) = C , a Q Φ ( a ) = ∫ f ( t )dt = 0 ⇒F ( a ) = C ,
b > b 时， a
∫
f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) 仍成立 仍成立.
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例5 求
2 x 0 ≤ x ≤ 1 ,求 例6 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
∫0
π 2( 2 cos
x + sin x − 1)dx .
∫0
2
f ( x )dx .
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思考题
上连续， 设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 ∫ f ( t )dt 与
a x
的函数？ ∫x f ( u)du 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们的 导数存在吗？如存在等于什么？ 导数存在吗？如存在等于什么？
b
思考题解答 x b ∫a f ( t )dt 与 ∫x f ( u)du 都是 x 的函数
一般地 如果 f (t ) 连续，a ( x ) 、b( x ) 可导， 连续， 可导，
则F ( x) = ∫
b( x ) f ( t )dt 的导数 F ′( x ) 为 a( x )
d b( x) F′( x) = ∫ f (t )dt = f [b( x)]b′( x) − f [a( x)]a′( x) dx a( x)
定积分与原函数的关系 微积分基本公式
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上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续，并且设 x 为
[a , b]上的一点， 考察定积分 上的一点，
∫
x a
f ( x )dx = ∫ f ( t )dt
x a
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对于每 定积分有一个对应值， 一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在 [a , b]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
x a
[ . Φ( x) = ∫ f (t )dt为f ( x)在 a, b]上的一个原函数
a
x
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定理3（原函数存在定理） 定理 （原函数存在定理）
上连续， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 ， 则积分上限的函数
Φ( x ) =
x a
∫
f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数. 上的一个原函数.