曲线积分 习题课

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其中L 是位于对称轴一侧的部分. 其中 1是位于对称轴一侧的部分 对坐标的曲线积分与方向有关, 对坐标的曲线积分与方向有关 所以在考虑对称 性时既要考虑被积函数与曲线的对称性, 性时既要考虑被积函数与曲线的对称性 还要考虑曲 线的方向, 因此直接应用比较困难, 线的方向 因此直接应用比较困难 一般是先转化为对 弧长的曲线积分, 然后再考虑使用对称性. 弧长的曲线积分 然后再考虑使用对称性
的值使得在不经过y=0的区域上 例5: 确定参数λ的值使得在不经过 的区域上 x ( x 2 + y 2 )λ x 2 ( x 2 + y 2 )λ I = ∫L dx − dy 2 y y 与路径无关, 并求当L为从 为从A(1, 1)到B(0, 2)时的值 时的值. 与路径无关 并求当 为从 到 时的值 x ( x 2 + y 2 )λ x 2 ( x 2 + y 2 )λ 解: 设 P ( x , y )= , Q ( x , y )=− . y y2 ∂P x = 2 [ 2λy 2 ( x 2 + y 2 )λ −1 − ( x 2 + y 2 )λ ], ∂y y 1 ∂Q = − 2 [2 x ( x 2 + y 2 )λ + 2λx 3 ( x 2 + y 2 )λ −1 ]. y ∂x ∂P ∂ Q 由于y≠ , 由于 ≠0, 且x2+y2≠0, 得 = 令 ∂y ∂x 2λxy 2 − x ( x 2 + y 2 ) = −2 x ( x 2 + y 2 ) − 2λx 3
x 2 u( x , y ) = 1 + ( ) . y I = u( 0, 2) − u(1, 1) = 1 − 2 .
关于第二类曲线积分的计算
公式. ①若曲线封闭, 首先考虑使用 若曲线封闭 首先考虑使用Green公式 公式 若曲线不封闭, 可考虑添加辅助曲线使之封闭, ②若曲线不封闭 可考虑添加辅助曲线使之封闭 然后再使用Green公式 此时应注意两点 ⑴辅助线上 公式. 然后再使用 公式 此时应注意两点: 的积分容易计算, 辅助线的方向与曲线的方向相容. 的积分容易计算 ⑵辅助线的方向与曲线的方向相容 化成第一类曲线积分计算. ③化成第一类曲线积分计算 按第二类曲线积分的计算公式直接计算. ④按第二类曲线积分的计算公式直接计算
二、典型例题 e x 2 + y 2 ds , 其中 x2+y2=a2, y=x, y=0 所 其中L: 例1: 计算 ∫L
围成的在第三象限的扇形的整个边界. 围成的在第三象限的扇形的整个边界 积分曲线如图. 分为三段: 解: 积分曲线如图 分为三段 L=L1+L2+L3: y a L1: y=0, –a≤x≤0. ≤ ≤ − –a 2 L1 o x x = a cos t ; π ≤ t ≤ 5π . L2: L2 L3 y = a sin t 4 a L3: y=x, − ≤ x ≤ 0. 2 则 ∫L e x 2 + y 2 ds = ( ∫L + ∫L + ∫L )e x 2 + y 2 ds
=∫ =
0 e − x dx −a
ea
−1+
πa
4
+ ∫π e a adt + ∫− a e −
0
5π 4
1
2
3
2x
2dx 4 e a − 2.
ea
+
ea
−1 =
2
2e a
+
πa
例2: 计算 I = ∫L ( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy , 其中 其中L 为由点O(0, 0)到点 到点A(1, 1)的曲线 y = sin 为由点 到点 的曲线
x3 y5 x3 y5 = d ( ) + d ( x 2 y ) + d ( ) = d ( + x 2 y + ). 3 5 3 5 x3 y5 + x2 y + , 因此取 u( x , y ) = 3 5 1 则 I = ∫0 [( x 2 + 2 x 2 ) + ( x 2 + x 4 )]dy =u(1, 1) – u(0, 0) 1 1 23 = +1+ = . 3 5 15 这种解法与定积分的牛—莱公式完全类似 莱公式完全类似. 这种解法与定积分的牛 莱公式完全类似 计算4: 直接使用Green公式 但是由于在构造的 公式. 计算 直接使用 公式 区域上的二重积分的计算并不简单, 故放弃这种方法. 区域上的二重积分的计算并不简单 故放弃这种方法
由于L包围原点 包围原点, ③: 由于 包围原点 即(0, 0)∈D, 则在 内 ∈ 则在D内 ∂P ∂ Q = ∂ y ∂x 但在原点不连续, 但在原点不连续 以原点为心, 作一半径a充分小的正向圆周 充分小的正向圆周C. 以原点为心 作一半径 充分小的正向圆周 记L和C所为成的区域为 1, 则由Green公式得 和 所为成的区域为D 则由 公式得: 所为成的区域为 公式得 ∫L Pdx + Qdy = ∫C Pdx + Qdy , 的结论知: 由②的结论知: I = ∫L Pdx + Qdy = ∫C Pdx + Qdy = −2π .
π
2
x.
y 解: 设P(x, y)=x2+2xy, Q(x, y)=x2+y4, A 1 ∂P ∂Q 则 , = 2x = ∂y ∂x 所以曲线积分I与路径无关 与路径无关. 所以曲线积分 与路径无关 o 1 x 计算1: 选择折线路径, 课上已经讲过. 计算1: 选择折线路径, 课上已经讲过. 计算2: 选择直线路径y=x(0≤x≤1). 计算 选择直线路径 ≤ ≤ 23 1 1 2 + 2 x 2 ) + ( x 2 + x 4 )]dy = (4x2 + x4 )dx = 则 I = ∫0 [( x . ∫0 15 计算3: 求u(x, y来自百度文库, 使得du=Pdx+Qdy. 计算 使得 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy =x2dx+(2xydx+x2dy)+y4dy=x2dx+(ydx2+x2dy)+y4dy
2λ x ( x 2 + y 2 ) + x ( x 2 + y 2 ) = 0 1 2+y2)=0, 得(2λ+1)x(x 所以, 所以 λ = − . y 2 B(0,2) 如选路径A→ → 如选路径 →C→B, 则 xydx − x 2dy I= ∫ + ∫ 2 2 D(0,1) y x + y2 AC CB x −1 2 0 dy + ∫1 dx . = ∫1 2 o 2 2 y 1+ y 2 4+ x 积分结果不易求出. 积分结果不易求出 如选路径A→ → 如选路径 →D→B, 则 xdx 0 2 0 I = ∫1 + ∫1 0dy = 1 + x 2 |1 = 1 − 2 . x2 + 1
例3: 计算 I = ∫L ( e x sin y − my )dx + ( e x cos y − m )dy , 其中L为由点 到点(0, 的上半圆周 的上半圆周: ≥ 其中 为由点(a ,0)到点 0)的上半圆周 x2+y2=ax, y≥0. 为由点 到点 解: 设P(x, y)=exsiny–my, Q(x, y)=excosy–m, ∂P x ∂Q x ∂Q ∂ P 常数). = e cos y − m , =e cos y . 则 − = m (常数 常数 ∂y ∂x ∂x ∂y 积分区域D(如图 如图)的面积又极易计 积分区域 如图 的面积又极易计 y 算, 故使用Green公式 故使用 公式. 公式 ∫oA+ L (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m )dy o A(a, 0) x
m 2 ∂Q ∂P = ∫∫D ( − )dxdy = ∫∫D mdxdy = πa , 8 ∂x ∂ y 又易见 ∫oA (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m )dy = 0
所以
m 2 I = πa . 8
( x + y )dx − ( x − y )dy , 其中 为: 其中L为 例4: 计算 I = ∫L 2 + y2 x 不包围也不通过原点的任意闭曲线; ①不包围也不通过原点的任意闭曲线 ②以原点为中 心的正向圆周; 包围原点的任意正向闭曲线. 心的正向圆周 ③包围原点的任意正向闭曲线 记曲线L包围的闭区域为 包围的闭区域为D, 解: 记曲线 包围的闭区域为 并设 x+ y y− x P ( x, y) = 2 , Q( x , y ) = 2 . x + y2 x + y2 ∂Q ∂P x 2 − y 2 − 2 xy . = = 则 ( x 2 + y 2 )2 ∂ x ∂y 由于(0, ∉ 则由Green公式得 公式得: ①: 由于 0)∉D, 则由 公式得 ∫L Pdx + Qdy = 0. 的方程为: ②: 设L的方程为 x=acost, y=asint (0≤t≤2π). 的方程为 ≤≤ 2π ( a cos t + a sin t )( − asin t )+(a sin t −acos t )(acos t ) I = ∫0 dt 2 (cos 2 t + sin 2 t ) a = −2π .
与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域 D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
∫ 等 (1) 在D内 L Pdx + Qdy与路径无关
价 (2)
∫
C
Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du = Pdx + Qdy
∂P ∂Q 题 (4) 在D内 = , ∂y ∂x
各种积分之间的联系 计算 定积分
曲线积分
Stokes公式 公式 计算 曲面积分 Guass公式 公式
计算 重积分
关于曲线积分对称性
对弧长的曲线积分与方向无关, 可以利用对称性, 对弧长的曲线积分与方向无关 可以利用对称性 简化计算. 简化计算 关于x(或 轴对称若 轴对称若f(x, y)关于 或x)是奇函 关于y(或 是奇函 设L关于 或y)轴对称若 关于 关于 数, 即 f(x, –y) = –f(x, y) (或f(– x, y) = –f(x, y)), 则 或 ∫L f ( x , y )ds = 0. 若f(x, y)关于 关于y(x)是偶函数 即f(x, –y) = f(x, y) 是偶函数, 关于 是偶函数 (或f(– x, y) = f(x, y)), 则 或 ∫L f ( x , y )ds = 2∫L f ( x , y )ds,
曲线积分
一、主要内容
习题课
曲线积分 对弧长的曲线积分 两者关系 定义 性质 计算公式 对坐标的曲线积分
曲线积分
对弧长的曲线积分 定义
∫L f ( x , y )ds
= lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆si
λ → 0 i =1
n
对坐标的曲线积分
∫L Pdx + Qdy
= lim ∑ [ P (ξ i ,ηi )∆xi + Q(ξ i ,η i )∆yi ]
C(1,2)
A(1,1)
x
若求u(x, y), 使得 使得du=Pdx+Qdy. 若求 x x2 P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = dx − 2 2 2 dy y x2+ y2 y x +y x x y x 1 1 x 2 d ( ) = d ( 1 + ( ) ). = 2 2 ( dx + xd ( )) = x 2 y x +y y y y 1+ ( ) y 所以 故
λ → 0 i =1
n
实质 分、粗、和、精 背景 曲线形构件的质量
分、粗、和、精 变力沿曲线作功
性质 线性、可加、无方向 可加、有方向 线性、可加、 可加、 计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限 一代、二换、 一代、二换、 联系
∫L Pdx + Qdy = ∫L ( P cosα + Q cos β )ds