机械振动的基本理论

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第1章 振动的基本理论
1.1 振动系统 1.2 简谐振动 1.3 周期振动的谐波分析 1.4 非周期函数的连续频谱
Theoretical Mechanics
目录
Theory of Vibration with Applications
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第1章 振动的基本理论
1.1 振动系统
Theory of Vibration with Applications
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1.2 简谐振动
1.2.2简谐振动的合成
x x 1 x 2 A 1 si1 t n A 2 si2 tn 2A co2s2 (1)tsi n22 (1)t
令 21(1 2)
21
x2Acostsint
2 式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个
1.2.2简谐振动的合成
由矢量的投影定理
x A 1 s i n ( t 1 ) A 2 s i n ( t 2 ) A s i n ( t )
A =A1 +A2
A (A1si n1A2si n2)2(A1co1sA2co2s)2 arcA tA 11 acsn io n(1 1s A A2 2scio n22s)
An
an2bn2， tann
an, bn
1
2π T
基频
n=1,2,3,……
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1.3 周期振动的谐波分析
一个周期振动可视为频率顺次为基频 1 及整倍数的若干或无数 简谐振动分量的合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析
周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。
周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。
当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，
合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
若
1与
之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非
2
周期的。
若1 2，对于A1A2A，则有
x x 1 x 2 A 1 si1 t n A 2 si2 tn 2A co2s2 (1)tsi n22 (1)t
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1.1 振动系统
振动系统一般可分为连续系统或离散系统。 具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性 体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振 动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方 程是偏微分方程。 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的 准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样 便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。 由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为 多自由度系统。
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具 有相同的频率。 在相位上，速度和加速度分别超前位移 π 和π 。
2
可得到加速度与位移有如下关系
x 2x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。
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第1章 振动的基本理论
1.2 简谐振动
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
1. 用正弦函数表示简谐振动 用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为
xA si n t
振幅
圆频率
初相位
一次振动循环所需的时间T 称为周期；单位时间内振动循环 的次数f 称为频率。
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。
参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
由于
j
j e 2
1ejπ
用复数表示的简谐振动的速度加速度为
也可写成
x Im [ jA e j (t )] Im [A e j (t 2 )] x I m [ A 2 e j t ( ) ] I m [ A 2 e j t ( ) ]
有两个同频率的简谐振动
x 1A 1sin (t1 ) x 2 A 2s in (t2 )
由于A1 、A2的角速度相等，旋转时
它们之间的夹角(1 2)保持不变， 合矢量A也必然以相同的角速度 作
匀速转动
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1.2 简谐振动
T12π,f 1 f T 2π
周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），
圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左
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1.1 振动系统
线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。
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1.1 振动系统
振动问题的分类
振动概述
按激励特性划分：
即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率 与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。
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1.2 简谐振动
1.2.2简谐振动的合成
2、两个不同频率振动的合成 有两个不同频率的简谐振动
x1A 1sin1t
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第1章 振动的基本理论
1.3 周期振动的谐波分析
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1.3 周期振动的谐波分析
周期振动
x(t)x(tnT)
n=1,2,3,……
展成傅氏级数
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
2. 用旋转矢量表示简谐振动
旋转矢量OM 的模为振幅A，角速度为圆频率 ，任一瞬
时OM 在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式
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1.2 简谐振动 3. 用复数表示简谐振动
边半径为A的圆上一点作等角速度 的运动时在x轴上的投影。
如果视x为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达
式关于时间t的一阶和二阶导数，即
x A co t s)(A si tn ( π)
2
x A 2 st i ) n A 2 ( st i n π( )
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1.1 振动系统
振动问题的分类
振动概述
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。 多自由度振动－两个或两个以上自由度系统来自百度文库 振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
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Z A ej ej t A ej t
AAej
是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信 息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。
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1.2 简谐振动
1.2.2简谐振动的合成
1. 两个同频率振动的合成
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振动理论与应用
引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题
不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗伯原理。
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1.3 周期振动的谐波分析
周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项 近似表示周期振动。 例1.1 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。
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1.3 周期振动的谐波分析
函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该 周期函数的特性。 这种分析振动的方法称为频谱分析。 由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是 由时间域转入频率域。 这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。
振动理论与应用
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第1章 振动的基本理论
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振动理论与应用
引言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置 附近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质 点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及 工程构件和工程结构的振动。
分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
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振动理论与应用
振动问题的共同特点
振动概述
所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
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循环。这是一个频率为 的变幅振动，振幅在2A与零之间缓
慢地周期性变化。
它的包络线
A(t)2Acost
2
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1.2 简谐振动
1.2.2简谐振动的合成
拍频
A(t)2Acost
2
这种特殊的振动现象称为 “拍”，或者说“拍”是 一个具有慢变振幅的振动
1.2.1简谐振动的表示
记 j 1 , 复数
z A e j ( t ) A co t s ) j ( A sit n)(
复数Z的实部和虚部可分别表示为
Re(z)Acost() Im(z)Asin(t)
简谐振动的位移x与它的复数表示z的关系可写为
xIm(z)
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1.1 振动系统
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的
振动。
m y k y0
m e q keq ＝ F 0si n t)(
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时， 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动 称为非线性振动。
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一个周期 T 中的平均值
x(t)a 2 0n 1(a nco sn1 t b nsinn1 t)
a 0
2 T
T 0
x(t) d t
a n
2 T
T
x (t ) cos
0
n 1t d t
b n
2 T
T
x ( t ) sin
0
n 1t d t
x(t)a 20n 1Ansin(n1tn)
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振动属于动力学第二类问题－已知主动力求 运动。
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振动理论与应用
引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似：
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
x2A 2sin2t
1 m 2 n
有理数
T1
T2
m 2π n 2π
1
2
Tm T1nT2
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1.2 简谐振动
1.2.2简谐振动的合成
xx1x2
合成的周期
x (t T ) x 1 (t T ) x 2 (t T )x 1 (t m 1) T x2(t n2)T x1(t)x2(t)x(t)